Dejemos que $x \in [0,1]$ denotan algún estado (por ejemplo, la cuota de mercado). Sea $i \in \{1,2\}$ denota un agente (por ejemplo, una empresa). Estoy considerando un modelo en el que los pagos $F_i(x)$ son perfectamente invertibles en el sentido de que las funciones de pago pueden reflejarse a lo largo de la línea $x = \frac{1}{2}$ con $F_1(x) = F_2(1-x)$ . Toma $F_1(x) = x$ y $F_2(x) = 1 - x$ por ejemplo. ¿Existe un plazo fijo para este tipo de juegos? Tiene un cierto sabor a suma cero, porque las preferencias son perfectamente opuestas. La empresa 1 quiere aumentar su cuota de mercado, y la empresa 2 quiere disminuir la cuota de mercado de la empresa 1 de la misma manera. Puedo pensar en Hotelling o en una ciudad lineal. Pero, ¿es ésta la caracterización más genérica?
O, mejor aún, ¿existe un término matemático para este tipo de funciones que se reflejan a lo largo de una línea fija?
Edición: Ejemplo Consideremos el siguiente juego diferencial publicitario definido por $(x,u_1,u_2) \in [0,1] \times \mathbb R_+ \times \mathbb R_+$ \begin{align} &v_1(x_0) = \max_{u_1}\int_0^\infty{e^{-t}(x - u_1^2/2)dt}\\ &v_2(x_0) = \max_{u_2}\int_0^\infty{e^{-t}(1 - x - u_2^2/2)dt}\\ \text{s.t.}\quad & \dot x = u_1 - u_2 \end{align} $x$ es la cuota de mercado de la empresa 1, y $u_i$ es el esfuerzo publicitario respectivo. Un equilibrio de Nash de retroalimentación estacionaria $(\phi_1(x), \phi_2(x))$ resuelve un sistema acoplado de ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman \begin{align} &v_1(x) = \max_{u_1}\{x - u_1^2/2 + v'_1(x)(u_1-\phi_2(x))\}\\ &v_2(x) = \max_{u_2}\{1 - x - u_2^2/2 + v'_2(x)(\phi_1(x)-u_2)\} \end{align}
Resulta que $(\phi_1(x), \phi_2(x)) = (1,-1)$ es el único equilibrio de Nash con valores asociados \begin{align} &v_1(x) = x - \frac{1}{2}\\ &v_2(x) = \frac{1}{2}-x\\ \Longrightarrow \quad &v_1(x) = v_2(1-x). \end{align}
- ¿Cómo se caracterizaría la clase de juegos en general? ¿Antagonistas simétricos?
Puedo proponer la siguiente definición:
Dejemos que $(\phi_1(x), \phi_2(x))$ resolver \begin{align} &v_1(x) = \max_{u_1}\{F_1(x,u_1,\phi_2(x)) + v'_1(x)f(x,u_1,\phi_2(x))\}\\ &v_2(x) = \max_{u_2}\{F_2(x,\phi_1(x),u_2) + v'_2(x)f(x,\phi_1(x),u_2)\}. \end{align} Un juego diferencial es simétricamente antagónico si \begin{align} v_1(x) = v_2(\overline x - x) \quad \forall x \in X \end{align} donde $\overline x := \max X$ .
