Opción de liquidación diferida: cómo cambiarán los valores en Black Scholes

Question

Si hay una opción que vence dentro de un año, pero se liquida al cabo de 2 años, ¿cómo sería la formulación de Black Scholes para esa situación? ¿El tipo libre de riesgo será ahora para 2 años o para uno?

Lo que pienso es que: dado que podemos desglosar una opción como una inversión de tipo de interés fijo + una acción volátil, lo único que tendrá algún efecto en el cambio de precio será la volatilidad de la acción. Así que el tipo libre de riesgo que tomemos debe ser sólo para un año. ¿Es esta la forma correcta de pensar?

Answer 1

Para una opción con liquidación en efectivo diferida, el tiempo de vencimiento $T$ y el tiempo de liquidación $T_p(\geq T)$ , pagando $(S_T-K)^+$ en $T_p$ el valor actual de este pago en $T$ es:

$$ E_T\left[\beta_T \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right] = P(T,T_p)(S_T-K)^+,$$

con $\beta_t = \exp \left(\int_0^t r_u du \right) $ , $r$ tipo de interés sin riesgo, $P$ precio de los bonos de cupón cero asociados, $P(u,U)= E_u\left[\beta_u \beta_{U}^{-1} \right]$ .

Así, debido a la propiedad de la torre de expectativas condicionales, el valor presente de la opción a $t(\leq T)$ es:

$$E_t\left[\beta_t \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right] = E_t\left[E_T\left[\beta_t \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right]\right] $$ $$ =E_t\left[\beta_t \beta_{T}^{-1} E_T\left[\beta_T \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right] \right] $$ $$= E_t\left[\beta_t \beta_{T}^{-1} P(T,T_p) (S_T-K)^+ \right]. $$

Si hacemos una suposición de "congelación" en el, por lo demás estocástico, $P(T,T_p)$ :

$$ P(T,T_p) = \frac{P(t,T_p)}{P(t,T)},$$

nos encontramos con que:

$$\frac{P(t,T_p)}{P(t,T)}E_t\left[\beta_t \beta_{T}^{-1} (S_T-K)^+ \right] $$

(la fórmula estándar de BS sólo recibe una especie de multiplicador de ajuste de "transporte" en efectivo).

Answer 2

Para que quede claro, estamos hablando de una opción que paga $max(0,S_1-K)$ pagado en el momento $t=2$ . Entonces, la única diferencia entre ésta y una opción estándar es el descuento adicional de $ t=1$ a $t=2$ . Así que el precio $P$ debe satisfacer $$ P=BS/(1+r)$$ donde BS es el precio regular de Black Scholes y $r$ es el tipo libre de riesgo a plazo de $t=1$ a $t=2$ .

Lo anterior supone técnicamente que los tipos de interés no son estocásticos.