Cómo entender la deriva de ln(S) si S sigue un movimiento browniano geométrico

Question

Como sabemos, si un activo S sigue un movimiento browniano geométrico, bajo una medida neutral al riesgo, se puede expresar como $\frac{dS}{S}=rdt+\sigma dW$ aplicando el lema de Ito, $d(lnS)=(r-0.5*^2)dt+dW(t)$ Para mí, la conversión matemática de $\frac{dS}{S}$ a $d(lnS)$ tiene sentido, pero estoy tratando de intuir por qué la deriva cambia de $r$ a $(r-0.5*^2)$ . Esto es lo que yo entiendo (pero no estoy 100% seguro de ello): $dlnS$ es la tasa de composición continua del precio de las acciones, debido a la característica de composición continua, tiene en cuenta la volatilidad (o desviación estándar), por lo que su deriva real debe ser restada por este componente de volatilidad, me pregunto si mi entendimiento es correcto.

Answer 1

Porque $\mathbb{E}\left(e^{\sigma W_t}\right) = e^{\frac{1}{2}\sigma^2T} > 1$ necesita esa corrección para que su activo crezca por término medio a un ritmo $\mu$ (o $r$ en la medida neutral de riesgo).

Esto está muy bien explicado en el capítulo sobre el modelo BS del libro de Hull Opciones, futuros y otros derivados ¡!