Demuestre que la concavidad de la función de producción de la empresa implica la concavidad de su función de beneficios. (Pista: Para una función cóncava, las condiciones de primer orden dan el vector que maximiza la función)
Punto confuso: Cómo relaciono la concavidad de la función de producción con la función de beneficios. Y por dónde empiezo esta prueba matemáticamente.
La "pista" es errónea y engañosa.
Es erróneo, porque las condiciones de primer orden son suficientes para un máximo cuando la función objetivo es estrictamente cóncavo, o al menos estrictamente cuasi-cóncavo, bajo algunas condiciones. Por ejemplo, una función lineal también es cóncava (además de convexa), y en tal caso, las condiciones de primer orden no son suficientes para un máximo.
Es engañoso, porque la concavidad de una función multivariante depende de los signos de su matriz hessiana de de segundo orden derivados. Así que la OP debería calcular las segundas derivadas de la función de beneficio, con respecto al capital y al trabajo, ya que supongo que la presunción aquí es que maximizamos con respecto a las cantidades de entrada solamente, tratando los precios como constantes exógenas.
Ambas cosas son material estándar en muchos libros de microeconomía o de "matemáticas para la economía", así que el OP debería buscarlas allí.
La "pista" adecuada sería que los costes son lineales en capital y trabajo...
...así que la función de beneficios tiene una parte no lineal que se relaciona con la función de producción, y una parte lineal que se relaciona con los costes. ¿Y qué ocurre con la segunda derivada cuando hay linealidad?
Gracias por señalar el problema de la pista. Sólo para aclarar, no hemos trabajado la parte hessiana en la clase. Se espera que demostremos la concavidad sólo con las condiciones de primer orden (esa es la razón de la pista en primer lugar). Y también has mencionado en tu respuesta que esto se puede encontrar en cualquier libro. ¿Puede recomendar al menos uno en el que la concavidad de la función de beneficios conduzca a la concavidad de la función de producción?
Función lineal $ax+b$ diferenciado wrt. x da a, por lo tanto FOC igual a 0 si. a=0, parece ser bastante suficiente para un máximo. sin embargo esto no es único. Ver THM. 2.5 de Nocedal y Wright: Cuando f es convexa, cualquier minimizador local x es un minimizador global de f . Si además f es diferenciable, entonces cualquier punto estacionario x es un minimizador global de f. [página 17].
También el cálculo de la derivada de segundo orden parece excesivo si el beneficio es $\pi = pf(x) - w'x$ que es claramente cóncava si $f(x)$ es cóncavo ya que $-w'x$ es lineal y cóncava y $p>0$ por lo que el beneficio es una combinación lineal de la función cóncava por coeficientes positivos (p,1).
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Sería útil dar los argumentos con los que debe cumplirse la concavidad, y también es necesaria una definición de la función de beneficio para responder a su pregunta (¿es una función de beneficio a corto plazo? ¿hay poder de mercado?)
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Por argumentos supongo que te refieres al Trabajo y al Capital. En cuanto a la definición de la función de beneficio es que: pf(K,L) - wL - rk. Tampoco se especifica si la función de Beneficio es de corto o largo plazo. He escrito toda la pregunta tal y como es. La función de beneficio que he dado se basa en los apuntes de clase.
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En este caso debe comenzar su prueba con $\pi(K,L;p,w,r) = pf(K,L) - wL - rk$ y demostrar que es cóncava en $(K,L)$ .