La "pista" es errónea y engañosa.
Es erróneo, porque las condiciones de primer orden son suficientes para un máximo cuando la función objetivo es estrictamente cóncavo, o al menos estrictamente cuasi-cóncavo, bajo algunas condiciones. Por ejemplo, una función lineal también es cóncava (además de convexa), y en tal caso, las condiciones de primer orden no son suficientes para un máximo.
Es engañoso, porque la concavidad de una función multivariante depende de los signos de su matriz hessiana de de segundo orden derivados. Así que la OP debería calcular las segundas derivadas de la función de beneficio, con respecto al capital y al trabajo, ya que supongo que la presunción aquí es que maximizamos con respecto a las cantidades de entrada solamente, tratando los precios como constantes exógenas.
Ambas cosas son material estándar en muchos libros de microeconomía o de "matemáticas para la economía", así que el OP debería buscarlas allí.
La "pista" adecuada sería que los costes son lineales en capital y trabajo...
...así que la función de beneficios tiene una parte no lineal que se relaciona con la función de producción, y una parte lineal que se relaciona con los costes. ¿Y qué ocurre con la segunda derivada cuando hay linealidad?
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Sería útil dar los argumentos con los que debe cumplirse la concavidad, y también es necesaria una definición de la función de beneficio para responder a su pregunta (¿es una función de beneficio a corto plazo? ¿hay poder de mercado?)
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Por argumentos supongo que te refieres al Trabajo y al Capital. En cuanto a la definición de la función de beneficio es que: pf(K,L) - wL - rk. Tampoco se especifica si la función de Beneficio es de corto o largo plazo. He escrito toda la pregunta tal y como es. La función de beneficio que he dado se basa en los apuntes de clase.
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En este caso debe comenzar su prueba con $\pi(K,L;p,w,r) = pf(K,L) - wL - rk$ y demostrar que es cóncava en $(K,L)$ .