Economía de intercambio pura con disposición libre y no libre

Question

La pregunta es la siguiente:

Mis respuestas son

(I)

Sea k un nivel de utilidad constante

Entonces

$$k=\sqrt{x_A^1x_A^2}$$

$$k^2/x_A^1=x_A^2$$

La primera derivada es negativa. Por tanto, la curva de indiferencia es decreciente. La segunda derivada es positiva.

Como la función de utilidad es cuasicóncava, entonces las preferencias son convexas porque prefiere los promedios a los extremos.

Para B

Asimismo,

Para un nivel de utilidad constante k

$$k=x_B^1/(1+x_B^2)$$

Entonces $$x_B^2=x_B^1/k-1$$

Esto es una línea recta.

Debido a la curva de indiferencia lineal, es indiferente entre los promedios y los extremos. Por tanto, no es una preferencia estrictamente convexa.

(II)

Para analizar si las preferencias son no estacionadas y estrictamente monótonas, tenemos que observar sus UM.

Para A,

como el bien 1 y 2 pueden disminuir la utilidad marginal, las preferencias no son monótonas. Pero las preferencias no son saciadas.

Para B,

Como la utilidad marginal es creciente, las preferencias son monótonas. Pero las preferencias no son estrictamente monótonas porque conseguir más x2 disminuye la utilidad. Sin embargo, las preferencias no son localmente monótonas porque al dar al consumidor un poco más de $x_B^1$ sosteniendo $x_B^2$ constante, él estrictamente mejor.

(III)

Hice las tres primeras partes de esta manera. Sin embargo, no pude proceder con las últimas tres partes que marqué con bolígrafo rojo. Por favor, ayúdenme a hacerlo. Gracias.

Answer 1

Consideremos una economía de intercambio puro con dos actores: A y B.

La función de utilidad de A es

\begin{eqnarray*} u_A = x_A^{\frac{1}{2}}y_A^{\frac{1}{2}}\end{eqnarray*}

La función de utilidad de B es

\begin{eqnarray*} u_B = \frac{x_B}{1 + y_B}\end{eqnarray*}

Las dotaciones de A y B son respectivamente

\begin{eqnarray*} \omega_A = (2,5), \ \omega_B =(5,2)\end{eqnarray*}

Encuentre el conjunto de asignaciones eficientes de Pareto en esta economía.

El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto consiste en aquellas asignaciones factibles en las que B consume $0$ unidad de producto $Y$ .

$$\text{Pareto Set} = \left\{\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right) \in \mathbb{R}_+^2 \times \mathbb{R}_+^2 | x_A + x_B = y_A + y_B = 7, y_B = 0\right\}$$

Supongamos que no hay libre disposición. El jugador A puede hacer una oferta de "tómalo o déjalo" a B. El jugador B puede aceptar o rechazar. Si el jugador B rechaza, cada jugador se queda con su dotación actual. Si el jugador B acepta, se aplica la propuesta de A. Encuentre el resultado de la asignación de equilibrio $\left(\left(x_A^*, y_A^*\right), \left(x_B^*, y_B^*\right)\right)$ .

En un equilibrio subjuego perfecto, la estrategia de B será aceptar una propuesta de asignación $\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)$ si $u_B(x_B, y_B) \geq u_B(5, 2) = \frac{5}{3}$ y rechazar en caso contrario. Dada la estrategia de B, A elegirá una propuesta resolviendo el siguiente problema de maximización : \begin{eqnarray*} \max_{\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)\in \mathbb{R}_+^2 \times \mathbb{R}_+^2} & \ x_A^\frac{1}{2}y_A^\frac{1}{2} \\ \text{s.t.} & \ x_A+ x_B = 7 \\ & \ y_A + y_B = 7 \\ & \ \frac{x_B}{1+y_B} \geq \frac{5}{3}\end{eqnarray*}

Resolviendo este problema obtenemos la siguiente propuesta : $\left(\left(x_A^*, y_A^*\right), \left(x_B^*, y_B^*\right)\right) = \left(\left(\frac{16}{3}, 7\right), \left(\frac{5}{3}, 0\right)\right)$

Supongamos que ahora hay libre disposición. Rehaga la última parte permitiendo la libre disposición.

Teniendo en cuenta la libre disposición, en un equilibrio subjuego perfecto, la estrategia de B será aceptar una propuesta de asignación $\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)$ si $u_B(x_B, y_B) \geq u_B(5, 0) = 5$ y rechazar en caso contrario. Dada la estrategia de B, A elegirá una propuesta resolviendo el siguiente problema de maximización : \begin{eqnarray*} \max_{\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)\in \mathbb{R}_+^2 \times \mathbb{R}_+^2} & \ x_A^\frac{1}{2}y_A^\frac{1}{2} \\ \text{s.t.} & \ x_A+ x_B = 7 \\ & \ y_A + y_B = 7 \\ & \ x_B \geq 5\end{eqnarray*}

Resolviendo este problema obtenemos la siguiente propuesta : $\left(\left(x_A^*, y_A^*\right), \left(x_B^*, y_B^*\right)\right) = \left(\left(2, 7\right), \left(5, 0\right)\right)$

Encuentre el equilibrio competitivo (si existe) en ambos casos: (a) sin libre disposición, (b) libre disposición

El equilibrio competitivo consiste en una asignación $\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)$ y los precios $(p_x, p_y = 1)$ tal que

• $x_A = \dfrac{2p_x + 5}{2p_x}$ , $y_A = \dfrac{2p_x + 5}{2}$
• $x_B = \dfrac{5p_x + 2}{p_x}$ , $y_B = 0$
• $x_A+x_B = 7$ , $y_A+y_B=7$

Resolviéndolo obtenemos, $p_x = \dfrac{9}{2}$ . Por lo tanto, la asignación de equilibrio competitivo es $\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)=\left(\left(\dfrac{14}{9}, 7\right), \left(\dfrac{49}{9}, 0\right)\right)$ y los precios de apoyo son $(p_x, p_y) = \left(\dfrac{9}{2}, 1\right)$ . El equilibrio es el mismo en ambos casos, con o sin libre disposición.