Agregando en un continuo

Question

Estoy trabajando con el siguiente modelo económico de decisiones de trabajo y consumo:

1. Tengo una población cuya masa está normalizada a una de consumidores.
2. Obtienen utilidad del consumo $c$ que suministran la mano de obra $l$ y un bien público $y$
3. Esto se resume en una función de utilidad diferenciable $u(c,l,y)$
4. Los agentes obtienen ganancias $z$ de suplir la mano de obra según: $$z=nl$$ donde $n$ corresponde a un "nivel de habilidad" tal que: $n\in[0,\infty[$ . Este nivel de competencias se distribuye según la distribución de competencias $F(n)$ con densidad $f(n)$ .
5. $c_n$ , $z_n=nl_n$ y $u_n$ se utilizan para denotar el consumo, los ingresos y el nivel de utilidad de un individuo con nivel de cualificación $n$
6. los individuos maximizan su función de utilidad sujeta a una restricción: $$c_n=z_n-T(z_n)$$

donde $T(\cdot)$ es una "función fiscal" diferenciable

 7.The public good is produced according to the sum of this tax function:

$$y=\int_0^{\infty}f(s)T(z_s)ds$$

Podemos utilizar las ecuaciones anteriores para expresar el problema de maximización del consumidor como

$$\max_{z_n}u\left(z_n-T(z_n), z_n/n, \int_0^{\infty}f(s)T(z_s)ds\right)$$

Las condiciones de primer orden para este problema se escriben (omitiendo los argumentos de la función $u$ para compactar la notación):

$$u_{c}(\cdot)(1-T'(z_n))+u_l(\cdot)/n+u_y(\cdot)\cdot \frac{\partial y}{\partial z_n}=0$$

Estoy interesado en estudiar el último trimestre $\frac{\partial y}{\partial z_n}$ . Parece intuitivo que $\frac{\partial y}{\partial z_n}=0$ desde:

$$\frac{\partial y}{\partial z_n}=\int_0^{\infty}\frac{\partial f(s)T(z_s)}{\partial z_n}ds=0$$

Sin embargo, no estoy seguro del requisito matemático necesario para que la última ecuación tenga sentido . Parece algo contradictorio con la intuición que se tiene al agregar usando sumas, por ejemplo un análogo discreto estaría dado por:

$$\sum_{s=0}^{\infty} T(z_s)$$

y es evidente que la derivada de la última expresión con respecto a $z_n$ sería igual a uno.

¿Podría ayudarme en esto? Tal vez sería necesaria una amplia claryficación de la agregación integral. Gracias.

Answer 1

Para obtener $\frac{\partial y}{\partial z_n}=0$ , usted asume implícitamente que cada consumidor toma su propio nivel de habilidad como dado . Y en tal caso, en realidad el consumidor optimiza con respecto a la mano de obra suministrada solamente. Tal vez sería mejor optimizar con respecto a $l$ dado $n$ .

En cuanto a la agregación el análogo discreto no sería lo que escribes sino

$$\sum_{s=0}^{\infty}p(s) T(z_s)$$

donde $p(s)$ sería la proporción de la población que tiene ingresos $z_s$ .

Tenga en cuenta que $y = E[T(z_s)]$ El valor esperado de la presión fiscal individual en función del nivel de cualificación. La densidad de $s$ desempeña en el caso continuo el papel de las "proporciones de la población" en el escenario discreto