Precio máximo como opciones de bonos

Question

Actualmente estoy luchando con la calibración del modelo Hull-White (o Vasicek) a Caps y Floors. Mi principal problema es que estoy confundido con la notación.

En Brigo y Mercurio (2006, p. 76) el Cap se considera como una cartera de opciones de bono cero:

$$ Cap(t, \tau, N, X) = N \sum_{i=1}^N (1 + X \tau_i) ZBP \left(t, t_{i-1}, t_i, \frac{1}{1 + X \tau_i} \right) $$

Tengo que llevar esto a una visión más práctica. Concretamente, quiero fijar el precio de un Cap a 1 año a partir de hoy. El pago del primer Caplet es conocido ya que el día de reajuste es hoy y por lo tanto el pago es conocido.

¿Cómo podría ilustrar los próximos 3 Caplets (=Suma es 1 Año Cap) en la notación de bono cero?

Mi opinión sería la siguiente:

$$ Cap(0, \delta, N, K)=N\sum_{k=1}^n \left[ P(0, t_k)\Phi(-h_k + \sigma_P^k)-(1 + K \delta_k) P(0, t_{k+1})\Phi(-h_k)\right] $$

es $P(0, t_k)$ el valor del bono cero en el día de reinicio del segundo caplet? y $P(0, t_{k+1})$ ¿el valor del bono cero en el momento del pago de la segunda cápsula?

Answer 1

Caplets como puts de bono cero

Para simplificar las cosas, considere cada cápsula por sí misma, el valor de la cápsula sería en ese caso la suma de los valores de las cápsulas.

Así que, tomemos una sola cápsula en nominal $N$ y con la huelga $K$ , tenor del Libor $\delta$ , caducidad $T$ y la fecha de pago $T +\delta$ .

Si su fecha de fijación de precios es posterior a la fecha de vencimiento pero anterior a la fecha de pago: $T < t < T + \delta$ entonces el pago ya es conocido, y el valor del caplet es simplemente el valor del flujo multiplicado por el bono de cupón cero:

$$ Caplet(t)= NP(t, T + \delta) \underbrace{(L(T, T+\delta) - K)^+}_{\text{already known if } t > T} $$

Si la fecha de fijación de precios es anterior al vencimiento, entonces el caplet puede escribirse como una opción de venta sobre el bono cupón cero con strike $X = \frac{1}{1+ \delta K}$ (como se explica aquí por ejemplo Opción de tope sobre el Libor ), lo que lleva a:

$$ Caplet(t) = \frac{N}{X} P(t, T) \mathbb{E}^T \left[ \left(X - P(T, T+ \delta) \right)^+\right] $$

Para fijar el precio de esta opción, se necesita un modelo para el precio del bono de cupón cero.

Precios de las cápsulas según el modelo Hull-White

Cuando el tipo de interés a corto plazo sigue la dinámica del modelo Hull-White con reversión a la media $a$ y la volatilidad $\sigma$ la distribución de los bonos de cupón cero es lognormal: $$ \frac{dP(t, T)}{P(t,T)} = r(t)dt + \sigma(t) B(t, T) dW(t) $$

donde: $$ B(u,T) = \frac{1 - e^{-a(T- u)}}{a} $$

Como resultado, bajo Hull-White, la fórmula de Black da un precio de forma cerrada a la opción anterior:

$$ Caplet(t) = N(1 + \delta K) \left[ P(t, T + \delta) \Phi(d_+) - X P(t, T) \Phi(d_-) \right] $$

donde:

• $d\pm=\frac{\log\left( \frac{P(t,T+\delta)}{X P(t,T)} \right)}{\Sigma} \pm \frac{\Sigma}{2}$
• $\Sigma^2 = B(T, T+\delta)^2 \int_t^T e^{-2a(T - u)} \sigma^2(u) du $
• $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de la gaussiana estándar $\mathcal{N}(0, 1)$

Calibración de Hull-White sobre las volatilidades de las tapas

El primer paso es despojar a los caps vol para obtener los caplet vols. Ver por ejemplo: http://www.smileofthales.com/financial/cap-floor-pricing-stripping-the-basics/

Supongamos que se quiere calibrar en caplets con caducidades $T_1 < T_2 < \dots < T_n$ . Por lo general, la estructura temporal de la volatilidad del modelo se supone constante a trozos, con los mismos pilares: $T_1, \dots, T_n$ .

Se empieza por la opción con el vencimiento más próximo $T_1$ y, a continuación, determinar la volatilidad $\sigma(T_1)$ que permite hacer coincidir el $T_1$ precio de las cápsulas.

Luego, se pasa a $T_2$ el precio de la cápsula es una función de $\sigma(T_1)$ que ya se conoce y $\sigma(T_2)$ , por lo que se determina el valor de $\sigma(T_2)$ lo que le permite hacer coincidir el $T_2$ y así sucesivamente, hasta llegar a $T_n$ y ya está.