Tengo una confusión sobre cómo definir los conjuntos de estrategias;
Entiendo que en los juegos dinámicos los conjuntos de estrategias se definen como $\textbf{sets of functions}$ - véase, por ejemplo, mi post anterior, enlace más abajo:
Defina y caracterice los equilibrios del siguiente juego
Sin embargo, no puedo cuadrar esto con lo que sería un conjunto de estrategias en un juego de movimientos simultáneos; como ilustración considere el siguiente juego simple:
Hay dos jugadores que compiten por un premio de $1$ . Cada jugador $i$ elige el nivel de esfuerzo $x_i \in \mathbb{R}$ . Cuando los niveles de esfuerzo son $(x_1,x_2)$ la probabilidad de que el jugador 1 gane el premio viene dada por $p(x_1,x_2)$ y la probabilidad de que el jugador 2 gane el premio viene dada por $1-p(x_1,x_2)$ . Jugador $i$ El coste del esfuerzo de la empresa $x_i$ es igual a $x_i$ .
Los jugadores eligen sus niveles de esfuerzo simultáneamente.
Ahora, mirando los libros de texto estándar, sospecho que los conjuntos de estrategias de ambos jugadores se definirían como $S_1 = \mathbb{R}$ , $S_2 = \mathbb{R}$ Como ambos jugadores elegirán un nivel de esfuerzo $x\in \mathbb{R}$ .
Sin embargo, dado que un $\textbf{strategy}$ para el jugador $i$ se define como un plan contingente completo, sería natural que definiera una estrategia como una función:
$s_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ,
es decir, para cada nivel de esfuerzo posible $x_j \in \mathbb{R}$ ese jugador $j$ elige, jugador $i$ elegirá un nivel de esfuerzo $x_i \in \mathbb{R}$ . Pero entonces desde $S_i$ es el $\textbf{set of}$ estrategias sería apropiado definir el conjunto de estrategias de este juego para el jugador i como
$S_i = \{s_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$ es decir, el conjunto de todas las funciones posibles $s_i$ .
Pero entonces esta definición entraría en conflicto con la original que di al principio.
Entonces, ¿cuál de los dos (si es que hay alguno) sería el "juego de estrategia" correcto de este juego de movimientos simultáneos? Gracias.
