Definir y caracterizar los equilibrios de la siguiente juego

Question

Considere el siguiente juego entre un monopolista empresa y un consumidor. Del consumidor de la renta es de $1$, y él necesita asignar entre el periodo 1 y el periodo 2 el consumo de maximizar su utilidad de $u(c_1,c_2)=c_1+c_2$, donde $c_t$ es el consumidor del período $t$ consumo. Período 2 los precios están dados exógenamente por $P$. Suponga que $P$ es al azar y se toma el valor en $\{\bar{p},\underline{p}\}$, con igual probabilidad, donde $\bar{p}>\underline{p}>0$. Es de conocimiento común que la empresa sabe que $P$, y el consumidor sabe $P$ con una probabilidad de $\alpha$. El tiempo del juego es como sigue. La empresa opta por el primer período de precio de $p$ maximizar sus ganancias en el período 1. Después de observar a $p$, el consumidor decide cómo distribuir sus ingresos entre $c_1$ y $c_2$.

1) Definir un punto de equilibrio para este juego

2) Caracterizar los equilibrios.

Estoy teniendo dificultades en formalmente la configuración de juegos dinámicos y por lo tanto, agradecería si alguien pudiera ver la solución que se proporciona a continuación, y lo que es más importante si la definición de equilibrio puedo ofrecer (estrategia de conjuntos, las estrategias, las condiciones de optimalidad, etc) es correcta, y si no ¿por qué? Gracias

Answer 1

SOLUCIÓN:

1) DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO

\begin{ecuación} \begin{split} &p \in \mathbb{R}_+\text{ es el precio elegido por la empresa en el período 1}\\ &a_U \in [0,1] \text{ es la participación en los ingresos de los Desinformados consumidor asigna en el período 1}\\ &a_I \in [0,1] \text{ es la proporción del ingreso del consumidor Informado asigna en el período 1}\\ &\Theta = \{I,U\} \text{ es el tipo de consumidor Informado, Desinformados}\\ & S_I = \{ a : \{\underline{p},\bar{p}\} \times \mathbb{R}_+ \a [0,1] \} \text{ es la estrategia de conjunto de la I. consumidor}\\ & S_U = \{ a : \mathbb{R}_+ \a [0,1] \} \text{ es la estrategia de conjunto de la U. del consumidor}\\ & S_f = \{ p : \{\bar{p},\underline{p}\} \to \mathbb{R}_+ \} \text{ es la estrategia de la empresa}\\ &\mu_U(p) = Pr(P =\bar{p}|p) \text{ : consumidor de tipo U creencia de que el segundo período, el precio es } \bar{p}, \text{ dado } p\\ &\mu_I(P) = Pr(P =\bar{p}|p) \text{ : consumidor de tipo I, la creencia de que el segundo período, el precio es } \bar{p}, \text{ dado } p\\ \end{split} \end{ecuación}

Un equilibrio del juego, un triple de estrategias, $s^*=(a^*_I, un^*_U,p^*)$ de cada tipo de consumidor y el monopolista, junto con un sistema de creencia $\mu$ tal que: para cada jugador i$$, $s_i^*$ es secuencialmente racional, y las creencias están determinadas por la estrategia de perfil y la regla de Bayes cuando se aplica. \

En particular, para cada precio de $p$, el consumidor de tipo $i \in \{U. I\}$ resuelve:
\begin{ecuación} \begin{split} &a_i^*(p) = \text{ argmax } \sum_p \big[ ( \frac{a}{p} + \frac{1}{\bar{p}} )\mu_I(P) + ( \frac{a}{p} + \frac{1}{\underline{p}} )(1-\mu_I(P)) \big] \end{split} \end{ecuación}

También, en el caso de que el consumidor Informado, sabemos que \begin{ecuación} \begin{split} &\mu_I(P) = Pr(P =\bar{p}|p) = \begin{casos} 1 &\text{ si } P =\bar{p}\\ 0 &\text{ si } P = \underline{p}\\ \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación}

dado que los consumidores de las mejores estrategias y $P$, $p^*(P)$ maximiza el monopolista primer período de beneficios:

\begin{ecuación} \begin{split} &\pi(P)^* = \text{ argmax } \alpha [a^*_I(p) p] + (1-\alpha) [a^*_U(p) p]\\ \end{split} \end{ecuación}

2) CARACTERIZACIÓN DE LOS EQUILIBRIOS

para cualquier realización de $P$ en el período 2, tenemos que \begin{ecuación} \begin{split} a_I(p)^* = \begin{casos} 1 &\text{ si } p < P\\ 0 &\text{ si } p >P\\ \en [0,1] &\text{ si } p = P \\ \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación}

\begin{ecuación} \begin{split} a_U(p)^* = \begin{casos} 1 &\text{ si } p < \mu_U(p) \bar{p} + (1-\mu_U(p))\underline{p}\\ 0 &\text{ si } p > \mu_U(p) \bar{p} + (1-\mu_U(p))\underline{p}\\ \en [0,1] &\text{ si } p = \mu_U(p) \bar{p} + (1-\mu_U(p))\underline{p} \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación}

Para definir la estrategia óptima de la empresa monopolística que considere los siguientes casos, donde $\pi$ denota el monopolista primer período de beneficios:

a)Supongamos que $p=\bar{p}, \forall P$, entonces Por la regla de Bayes $\mu_U(p) = 1/2$; supongamos también que el equilibrio de la ruta $\mu_U(p) = 1/2, \forall p \neq\bar{p}$ ; entonces el monopolista ganancias están dadas por:

\begin{ecuación} \begin{split} \pi(P) = \begin{casos} \alpha \bar{p} a_I^*(\bar{p}) &\text{ si } P=\bar{p} \\ 0 &\text{ si } P = \underline{p} \\ \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación} Esto no es un equilibrio de estrategia debido a que el monopolista puede desviarse y aumentar sus ganancias cuando $P=\underline{p}$, estableciendo, por ejemplo, $\hat{p} = 1/2\bar{p} + 1/2\underline{p}$; esto le dará una ganancia de $\alpha a_U^*(\hat{p}) >0$. Del mismo modo es posible demostrar que no importa lo que el fuera el equilibrio camino, siempre hay una manera rentable de la desviación para el monopolista. \

b)Suponga que $p=\underline{p}, \forall P$, entonces $\mu_U(p) = 1/2$ y supongamos también que el equilibrio de la ruta $\mu(p) = 1/2, \forall p \neq\underline{p}$ ; entonces el monopolista ganancias están dadas por:

\begin{ecuación} \begin{split} \pi(P) = \begin{casos} \underline{p} &\text{ si } P=\bar{p} \\ \underline{p} (\alpha a_I^*(\underline{p}) +(1-\alpha) ) &\text{ si } P = \underline{p}\\ \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación} esto no es un equilibrio de estrategia debido a que $\exists \epsilon > 0 $ que monopolista se desvían y aumentar sus ganancias cuando $P=\bar{p}$; por ejemplo mediante la configuración de $\hat{p} = 1/2\bar{p} + 1/2\underline{p} -\epsilon>\underline{p}$, lo cual le dará una ganancia de $\hat{p}> \underline{p}$ .

c)Suponga que $p=\underline{p}, \text{ si } P= \underline{p}$, $p=\bar{p}, \text{ si } P= \bar{p}$ y $\mu_U(p) = 1, \forall p > \underline{p}$ entonces

\begin{ecuación} \begin{split} \pi_1^*(P) = \begin{casos} \bar{p}(\alpha a_I^*(\bar{p}) +(1-\alpha) a_U^*(\bar{p})) &\text{ si } P=\bar{p} \\ \underline{p} (\alpha a_I^*(\underline{p}) +(1-\alpha) a_U^*(\underline{p})) &\text{ si } P = \underline{p}\\ \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación} esto representa un equilibrio tan largo como $a_I^*(\bar{p}) = a_U^*(\bar{p}) = 1$; de lo contrario, el monopolista puede fijar un precio de $\hat{p}< \bar{p}$ y puede alcanzar una ganancia de $\bar{p} - \epsilon >\alpha a_I^*(\bar{p}) +(1-\alpha) a_U^*(\bar{p})$

d) Suponga que $p = 1/2\bar{p} + 1/2\underline{p}, \forall P$ entonces $\mu_U(p)=1/2$ y y supongamos también que el equilibrio de la ruta $\mu(p) = 1/2, \forall p \neq ( 1/2\bar{p} + 1/2\underline{p}) $ \begin{ecuación} \begin{split} \pi_2^*(P) = \begin{casos} (1/2\bar{p} + 1/2\underline{p}) (\alpha +(1-\alpha) a_U^*(p)) &\text{ si } P=\bar{p} \\ ( 1/2\bar{p} + 1/2\underline{p} ) ( 0 + (1-\alpha)a_U^*(p)) &\text{ si } P = \underline{p}\\ \end{casos} \\ \end{split} \end{ecuación} Este es un equilibrio de estrategia como de largo ya que no hay rentable desviación; observe que el monopolista puede fijar $p=\bar{p}$ cuando $P=\bar{p}$ y dado $\mu_U = 1/2$ sus beneficios sería igual a $\alpha \bar{P}a_I^*(\bar{p})$. También, cuando $P=\underline{p}$ el monopolista podría establecer $p=\underline{p}$ y obtener una ganancia de $\underline{p}$. Así, tenemos que asegurarnos de que ni la desviación es posible.

e) ?

Por lo tanto, podemos caracterizar de la siguiente (Perfecto Bayesiano) Equlibria:

1º DE EQUILIBRIO) \begin{ecuación} \begin{split} &a_I(p)^* = 1, a_U(p)^* = 1 \\ &\pi_1^*(P) \text{ define como arriba } \\ &\mu_U(p) = 1 \text{ tanto "on y off", el equilibrio path } \\ &\text{(es decir, si el monopolista se desvía } \\ &\text{de el equilibrio de la estrategia de } \mu_U(p)=1 \text{ aún mantiene} \\ \end{split} \end{ecuación}

CONJUNTO DE EQUILIBRIOS) \begin{ecuación} \begin{split} &a_I(p)^* =1, a_U(p)^* \en[0,1] \\ &\pi_2^*(P) \text{ define como arriba } \\ &\mu_U(p) = 1/2 \text{ tanto "on y off", el equilibrio path } \\ &\text{(es decir, si el monopolista se desvía } \\ &\text{de el equilibrio de la estrategia de } \mu_U(p)=1/2 \text{ aún mantiene} \\ & \text{También, Las siguientes dos condiciones a continuación: se}\\ &\alpha \bar{P}a_I^*(\bar{p}) < (1/2\bar{p} + 1/2\underline{p}) (\alpha a_U^*(\bar{p}) +(1-\alpha) ) \\ &\underline{p} < ( 1/2\bar{p} + 1/2\underline{p} ) (\alpha a_U^*(\bar{p}) +0)\\ \end{split} \end{ecuación}

Answer 2

Sugerencia: Observe que no hay ningún factor de descuento entre los dos períodos. El consumo entre los dos períodos son sustitutos perfectos; si el consumidor, que se gastan todo su ingreso en el precio más bajo del período, si es posible.

Así que hay dos casos que la empresa considere. Ya sea que el consumidor no conoce el espacio en el que el precio es sacar de, $\{\bar{p},\underline{p}\}$, con una probabilidad de $1 -\alpha$, o el consumidor no conoce este con probabilidad $\alpha$.

Si el consumidor "no sabe" $P$, entonces el resto de esta pregunta depende de si el consumidor conoce la distribución de $P$, pero no el valor de $P$ a sí misma en el segundo período, que no está claro para mí por la pregunta. Si el consumidor no conoce la distribución de $P$ (que es lo que estoy suponiendo), pero no el valor, entonces no consumen nada en el período 1 si $\frac{w}{p_1} < \frac{1}{2}(\frac{w}{\bar{p}}+\frac{w}{\underline{p}})$, ya que la cantidad de bienes que puede comprar con la riqueza $w$ el próximo período será menor, por lo que el gasto de todos los ingresos en ese período de maximizar la utilidad esperada. Nota no simplemente ser $p_1 > \frac{1}{2}(\bar{p}+\underline{p})$ siendo la condición.

A continuación, piensa en lo que ocurre si el consumidor conoce el valor de $P$ período siguiente, y cómo iban a actuar. Finalmente, la empresa, sabiendo esto y el peso de $\alpha$, tratará de maximizar el beneficio esperado (que no tienen una función de coste, por lo que los ingresos esperados) con respecto a $p_1 \in \mathbb{R}$.

$$\max_{p_1} \ \Pi(p_1, P) = p_1E(c_1) + E(P)E(c_2)$$

Edit: Oh, si fueron instruidos específicamente para el uso de un Botones, buena suerte. Parece que estás en el camino correcto en general.