Ley de Walras en una economía de producción con costes fijos

Question

Consideremos una empresa que toma el precio con costes fijos $fc \geq 0$ : \begin{align*} \Pi &= \max_{n^D} \left\{ P_c F(n^D) - w\times n^D - fc \right\} \end{align*}
Un hogar representativo es el propietario de esta empresa: $$\max_{c,n^S} U(c,n^S) \text{ s.t. } P_c c = wn^S + \Pi$$
Equilibrio : precios $(P_c, w)$ y asignaciones $(n^D, c, n^S)$ s.t. todo optimizado y los mercados despejados:
1 (Mercado laboral) $n^D = n^S$
2 (Mercado de bienes) $c = F(n)$

Vuelve a escribir la restricción del hogar:
\begin{align*} c &=\frac{w}{P_c} n^S + \frac{\Pi}{P_c} \\ &=\frac{w}{P_c} n^S + F(n^D) - \frac{w}{P_c} n^D - \frac{fc}{P_c} \tag{plug-in $\Pi$} \\ &=\frac{w}{P_c} \left(n^S - n^D \right) + F(n^D) - \frac{fc}{P_c} \tag{rearrange} \\ &= F(n) - \frac{fc}{P_c} \tag{Labor Market: $n^D = n^S$} \end{align*} Obsérvese la restricción del hogar $c = F(n) - \frac{fc}{P_c}$ es inconsistente con la compensación de bienes $c = F(n)$ .

Ejemplo:
$F(n)= A \log(n)$
$\Rightarrow w=\frac{P_c A}{n} \text{ } \&\text{ } n^D(w)= A \frac{P_c}{w} \text{ } \&\text{ } Y= A \log\left( A \frac{P_c}{w} \right) \text{ } \&\text{ } wn = A P_c $
$\Pi = P_c A \log\left( A \frac{P_c}{w} \right) - A P_c -fc $ .
$u(c,n)=c- \frac{n^{1+\frac{1}{\varepsilon} }}{1+\frac{1}{\varepsilon}}$ s.t. $P_c c = wn + \Pi$
$U(n)= \frac{w}{P_c} n + \frac{\Pi}{P_c} - \frac{n^{1+\frac{1}{\varepsilon} }}{1+\frac{1}{\varepsilon}} \Rightarrow \frac{w}{P_c} = n^{\frac{1}{\varepsilon} } $ .
$\Rightarrow n^S(w) = \left(\frac{w}{P_c}\right)^\varepsilon \text{ } \&\text{ } c=\left(\frac{w}{P_c}\right)^{1+\varepsilon} + \frac{\Pi}{P_c} $

1 ( Mercado laboral ) $n^D = n^S$
$\Rightarrow A \frac{P_c}{w} = \left(\frac{w}{P_c}\right)^\varepsilon \Rightarrow A = \left(\frac{w}{P_c}\right)^{1+\varepsilon} \Rightarrow \frac{w}{P_c} = \left(A \right)^{\frac{1}{1+\varepsilon}} $
2 ( Mercado de bienes ) $c = F(n)$
$\Rightarrow \left(\frac{w}{P_c}\right)^{1+\varepsilon} + \frac{\Pi}{P_c} = A \log\left( A \frac{P_c}{w} \right) $
$\Rightarrow \left(\frac{w}{P_c}\right)^{1+\varepsilon} + A \log\left( A \frac{P_c}{w} \right) - A - \frac{fc}{P_c} = A \log\left( A \frac{P_c}{w} \right) $
$\Rightarrow A + \frac{fc}{P_c} = \left(\frac{w}{P_c}\right)^{1+\varepsilon} \Rightarrow \frac{w}{P_c} = \left(A + \frac{fc}{P_c} \right)^{\frac{1}{1+\varepsilon}} $

El problema:
La compensación del mercado laboral da: $\frac{w}{P_c} = \left(A \right)^{\frac{1}{1+\varepsilon}} $
La compensación del mercado de bienes da: $\frac{w}{P_c} = \left(A + \frac{fc}{P_c} \right)^{\frac{1}{1+\varepsilon}} $

Sólo son idénticos si $fc=0$ .

Pregunta :

1. ¿se supone que la ley de Walras no es válida aquí? $fc>0$ ?
2. ¿cómo se establece una economía GE con producción y costes fijos?

Ático: Podemos reescribir la limpieza del mercado de bienes:
$\frac{w}{P_c} n^S + \frac{\Pi}{P_c} = F(n^D)$
$ \Leftrightarrow \frac{w}{P_c} n^S + F(n^D) - \frac{w}{P_c} n^D - \frac{fc}{P_c} = F(n^D) $
$ \Leftrightarrow \frac{w}{P_c} (n^S - n^D) = \frac{fc}{P_c} $
$ \Leftrightarrow \frac{fc}{P_c} = 0 $ si $n^D = n^S$

Answer 1

Respuesta parcial: para simplificar, dejemos que $P_c =1$ .
La restricción presupuestaria: $c= wn + \Pi$
Simplificar (enchufar $\Pi$ ): $c= F(n)- fc$
Despacho de mercancías: $c = F(n)$

La restricción presupuestaria del hogar es inconsistente con la compensación del mercado de bienes.
La empresa paga un coste fijo que no va a parar a nadie. En un "verdadero modelo GE" todos los pagos tienen que ir a parar a alguien en la economía.

Una solución es reescribir la condición de compensación del mercado de bienes: $c= F(n)- fc$
Es decir, una parte del bien de producción es consumida por el hogar y otra por la empresa...

Alternativamente, un enfoque común en economía es asumir que un factor (digamos el capital) es fijo en el corto plazo ( $k=\bar{k}$ ) y alquilado en los hogares. En este caso $fc= r\times\bar{k}$ : \begin{align*} \Pi &= \max_{n^D, k^D} \left\{ P_c F(n^D) - w\times n^D - r\times k^D \right\} \text{ s.t. } k^D = \bar{k} \tag{short-run} \end{align*}
El problema del hogar es entonces: \begin{align*} \max_{c,n^S, k^S} U(c,n^S) \text{ s.t. } P_c c = w\times n^S + r\times k^S + \Pi \end{align*}
GE : precios $(P_c,w,r)$ y asignaciones $(n^D,k^D,c,n^S,k^S)$ Todos los mercados y optimizaciones están despejados:
1 (Trabajo) $n^D=n^S$
2 (bienes) $c=F(n^D)$
3 (Capital) $k^D=k^S$

Ahora la restricción del hogar ya no es inconsistente con la compensación del mercado de bienes.
\begin{align*} P_c c &= w\times n^S + r\times k^S + \Pi \\ &= w\times n^S + r\times k^S + (P_c F(n^D) - w\times n^D - r\times k^D) \\ &= P_c F(n^D) \tag{k, n clear} \\ c &= F(n^D) \end{align*} Parece que no hay una buena forma de modelar los costes fijos en GE sin que algún hogar de la economía esté dotado de y alquile el factor que es fijo.