La utilidad esperada de un agente sólo depende de la media y la varianza

Question

Consideremos un agente con la función de utilidad esperada $U(L) = \sum_{s=1}^{S}\pi_s U(Y_s)$ sobre la lotería $L = (Y_s, \pi_s)$ donde $\pi_s$ es la probabilidad del estado $s$ , $Y_s$ son estatales $s$ pagos, y $U(y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$ para $Y_s < \alpha$ es el índice de utilidad sobre los pagos. Demuestre que la utilidad esperada de este agente depende únicamente de la media y la varianza de los pagos contingentes al estado.

No entiendo muy bien qué es lo que la pregunta me pide que demuestre. Cualquier sugerencia o comentario será muy apreciado. En concreto, ¿la pregunta me pide que encuentre $$E[U(s_s)]$$ y $$Var[U(Y_s)]$$ Si es así, ¿cómo lo hacemos cuando no tenemos ninguna distribución definida para $Y_s$ ? Además, ¿qué significa que la media de la utilidad esperada del agente depende únicamente de la media y la varianza de los pagos contingentes del estado? No tiene sentido para mí, no tengo mucho de un fondo de la economía como un estudiante graduado en Matemáticas Aplicadas.

Answer 1

Para entender este problema, trabajaré con el caso genérico. Digamos que un usuario tiene una utilidad cuadrática generalizada (Bernoulli), similar a su problema:

$$u(x) = \beta x^2 + \gamma x$$

y supongamos que existe una distribución para el resultado de $x$ , denotado como $F(x)$ . Así, la utilidad sobre esta distribución es igual a

$$\begin{align} \int u(x) \text{d}F(x) & = \int (\beta x^2 + \gamma x) \text{d}F(x) \\ & = \beta \int x^2 \text{d}F(x) + \gamma \int x \text{d}F(x) \\ & = \beta \int x^2 \text{d}F(x) + \left[ - \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 + \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 \right] + \gamma \int x \text{d}F(x) \\ & = \left[\beta \int x^2 \text{d}F(x) - \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 \right] + \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 + \gamma \int x \text{d}F(x) \\ & = \beta\cdot(\text{variance of F(x)}) + \beta\cdot(\text{mean of F(x)})^2 + \gamma \cdot (\text{mean of F(x)}) \end{align}$$

Por lo tanto, la utilidad viene determinada por la media y la varianza de la distribución de los pagos. Si entiendes el trabajo anterior, entonces debería ser fácil hacer el caso específico que nos has dado. Inténtalo por ti mismo.

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Teniendo en cuenta su caso concreto:

$$U(Y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$$

implica

$$U(L) = \sum_{s=1}^{S}\pi_s (-\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2)$$

Técnicamente se puede trabajar con cualquiera de los dos hallazgos $\int U(L) \text{d}L$ o $\int U(Y_s) \text{d}L$ . Mucha suerte con su trabajo.

Editar: Al trabajar en el caso discreto, el uso de los valores esperados puede resultar útil.

Answer 2

\begin{eqnarray*} \displaystyle U(L) & = &\sum_{s=1}^{S}\pi_s U(Y_s) = \sum_{s=1}^{S} \left(-\frac{1}{2}\pi_s(\alpha - Y_s)^2\right) = -\frac{1}{2}\sum_{s=1}^{S} \left(\pi_s(\alpha^2 + Y_s^2-2\alpha Y_s)\right) \\ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2\sum_{s=1}^{S} \pi_s + \sum_{s=1}^{S} \pi_sY_s^2-2\alpha \sum_{s=1}^{S} \pi_sY_s\right) = -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{E}(L^2)-2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \\ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{E}(L^2) - (\mathbb{E}(L))^2 + (\mathbb{E}(L))^2 -2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \\ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{V}(L) + (\mathbb{E}(L))^2 -2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \end{eqnarray*}

Así que la utilidad de la lotería sólo depende del valor esperado - $\mathbb{E}(L)$ y la varianza - $\mathbb{V}(L)$ de los pagos contingentes del estado.

Answer 3

Creo que esto no siempre es cierto como se ha dicho

Usted dice " $U(y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$ para $Y_s < \alpha$ " por lo que presumiblemente $U(y_s) = 0$ para $y_s \ge \alpha$ para evitar que los servicios públicos disminuyan a medida que aumentan los grandes premios

Supongamos como ejemplo $\alpha=50$ y hay dos loterías diferentes:

• En el primero, los posibles resultados son un pago de $0$ con probabilidad $\frac12$ o un pago de $30$ con probabilidad $\frac12$

  • Esto tiene una media de $ 0\times \frac12 + 30\times \frac12=15$ y una varianza de $225$
  • La utilidad esperada es $ -\frac{1}{2}(50 - 0)^2\times \frac12 -\frac{1}{2}(50 - 30)^2\times \frac12 = -725$

• En el segundo, los posibles resultados son un pago de $10$ con probabilidad $\frac9{10}$ o un pago de $60$ con probabilidad $\frac1{10}$

  • Esto también tiene una media de $10\times \frac9{10} + 60\times \frac1{10}=15$ y una varianza de $225$
  • La utilidad esperada es $ -\frac{1}{2}(50 - 10)^2\times \frac9{10} +0\times \frac1{10} = -720$ que es diferente