¿Puede alguien explicar cómo pasa Hull de los rendimientos de las acciones a los rendimientos de las acciones compuestos continuamente?

Question

Estoy leyendo el capítulo 13 del libro de Hull y estoy atascado en cómo llegó de los rendimientos de las acciones a los rendimientos de las acciones continuamente compuestos. Como recapitulación, construyó el Proceso de Wiener generalizado, que describe un cambio en alguna variable x es una función de un término de deriva y término estocástico.

dx = a * dt + b * * sqrt(dt)

donde a * dt es el término de deriva, b * * sqrt(dt) es el término estocástico, y es una distribución normal estándar N(0,1)

Entiendo esa parte. Sin embargo, eso sólo describe el cambio en x no un retorno de x. Así que tenemos que hacer una modificación. En 13.3, dice que simplemente multiplicamos los términos de deriva y estocástico por la propia x de modo que podemos reordenar la ecuación para que sea:

dx = a * x * dt + b * x * * sqrt(dt)

dx/x = a * dt + b * sqrt(dt)

que nos permite describir los rendimientos de x. Entiendo todo eso. Lo que no entiendo es el caso en que b es 0, que es cuando no hay proceso estocástico. Dice que la ecuación anterior se convierte en:

dx/x = a * dt

Que al tomar la integral con límites 0 y T, se obtiene:

xt = x0 * exp (a * t)

¿Cómo se llega a la última ecuación, que es el rendimiento compuesto continuo? ¿No es la derivada de exp(x) igual a sí misma? ¿Y por lo tanto si la antiderivada tiene exp(x) en ella, eso significa que la ecuación misma tiene exp(x) en ella? No entiendo cómo exp(x) aparece de la nada.

Gracias.

Answer 1

La llave está en el lado izquierdo. Recordemos que el diferencial del logaritmo de x es:

$d \ln x =\frac{1}{x}dx$

Así que lo tienes:

$\ln x_t-\ln x_0=at$

Que tendrás que exponer para deshacerte del registro:

$\frac{x_t}{x_0}=e^{at}$