Versión de Mankiw del modelo Cagan - necesito ayuda para interpretarlo

Question

Para simplificar al máximo las matemáticas, planteamos una función de demanda de dinero que es lineal en los logaritmos naturales de todas las variables. La función de demanda de dinero es

$$m_t - p_t = -\gamma(p_{t+1}-p_{t})$$

donde mt es el logaritmo de la cantidad de dinero en el momento t, pt es el logaritmo del nivel de precios en el momento t, y es un parámetro que rige la sensibilidad de la demanda de dinero a la tasa de inflación. Por la propiedad de los logaritmos, mtpt es el logaritmo de los saldos monetarios reales, y pt+1pt es la tasa de inflación entre el periodo t y el periodo t+1. Esta ecuación establece que si la inflación sube un punto porcentual, los saldos monetarios reales caen un porcentaje.

• Del libro de texto de Macroeconomía de Mankiw (Apéndice, capítulo 4).

Me cuesta entender cómo esta expresión lleva a la interpretación en negrita. Aplicando algunos de los resultados de esta respuesta a la misma pregunta ( Necesito ayuda matemática para el modelo de Cagan en macroeconomía ):

$$\ln\left(\frac{m_t}{p_t}\right)=-\gamma \ln\left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)$$ (reescribiendo la expresión para incluir los registros)

$$RHS = -\gamma \ln\left(1+\frac{\Delta p_{t+1}}{p_t}\right) \approx -\gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} $$ $$\text{(using } \ln(1+x) \approx x)$$

Ahora vuelve a la primera expresión:

$$\ln\left(\frac{m_t}{p_t}\right) \approx \gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} \approx \ln\left(1-\gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t}\right) $$ $$ \text{using } \gamma x \approx \ln(1+ \gamma x) $$

$$\frac{m_t}{p_t} \approx 1 - \gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t}$$

¿Estoy en lo cierto y/o en las líneas correctas? No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Creo que se está exagerando innecesariamente. Para cualquier relación de la forma:

$$\ln y = \beta \ln x $$

la interpretación del coeficiente beta es que $1\%$ aumento de $x$ lleva a $\beta$ $\%$ aumento de $y$ . La razón matemática por la que se mantiene esta relación ya fue explorada en el intercambio de pilas validadas de forma cruzada y se puede ver aquí o en este o en prácticamente cualquier libro de texto de econometría, ya que la forma log-log es importante, por lo que no voy a repetirlo innecesariamente.

Mankiw define los saldos monetarios reales como $M/P$ o en los registros $m-p$ por lo que la parte izquierda de su ecuación es, por definición, el término de equilibrio monetario real expresado en logaritmos $\ln (M_t/P_t)$ . La inflación es, por definición, el cambio en el nivel de precios, de nuevo en su caso expresado en logaritmos $\ln(P_{t+1}/P_t)$ . Así que se puede aplicar directamente la interpretación del párrafo anterior como hace Mankiw.

Además, puedes derivarlo también con tus cálculos. Para ser más específicos. Tasa de crecimiento $g$ para la variable $x$ se da como $g_x= \frac{x_{t+1}-x_t}{x_t}$ . Entonces sabemos que:

$$\ln x_{t+1} = \ln ((1+g_x)x_t) \implies \ln x_{t+1} = \ln (1+g_x)+ \ln x_t $$

Entonces, como $\ln (1+g_x) \approx g_x$ que tenemos:

$$\ln x_{t+1} = g_x + \ln x_t \implies \ln x_{t+1} -\ln x_t =g_x $$

como consecuencia se puede decir directamente eso:

$$\ln(M_t/P_t)=-\gamma \ln(P_{t+1}/P_t) \approx \ln(M_t/P_t)=-\gamma \left( \frac{P_{t+1}-P_t}{P_t} \right)$$

ese 1 en tu expresión final no debería estar ahí. En este caso, el LHS te da el porcentaje en los saldos monetarios reales y el LHS el porcentaje de cambio en el nivel de precios (inflación).