Necesidad de las matemáticas ayuda para la Cagan en el modelo de la macroeconomía

Question

Desde el apéndice después de que el capítulo 4 en la Macroeconomía 7ª edición por Gregory Mankiw.

Para mantener las matemáticas tan simple como sea posible, postulamos una función de demanda de dinero que es lineal en los logaritmos naturales de todas las variables. La función de demanda de dinero es

$m_t − p_t = −\gamma( p_{t+1} − p_t)$,

donde $m_t$ es el registro de la cantidad de dinero en el tiempo t, $p_t$ es el logaritmo del nivel de precios en el tiempo t, y $\gamma$ es un parámetro que gobierna la sensibilidad de la demanda de dinero a la tasa de inflación. Por la propiedad de los logaritmos, $m_t − p_t$ es el registro de los saldos monetarios reales, y $p_{t+1} − p_t$ es la tasa de inflación entre el período t y el período t+1. Esta ecuación indica que si la inflación sube en 1 punto porcentual, los saldos monetarios reales caen por $\gamma$ por ciento.

1. No $(p_{t+1} - p_t)$ ser el registro de la tasa de inflación? ¿Por qué se dice "la tasa de inflación"?

2. Esta ecuación indica que si la inflación sube en 1 punto porcentual, los saldos monetarios reales caen por $\gamma$ por ciento.

   Mi nivel matemático es como la de una escuela secundaria. Alguien podría ser tan agradable y explicar esto para mí? Para mí, no tiene sentido en absoluto.

   $\ln \frac{M}{P} = \ln (\frac{p_{t+1}}{p_t})^{-\gamma} \rightarrow \frac{M}{P} = (\frac{p_{t+1}}{p_t})^{-\gamma}$

   Por lo tanto, si el $(p_{t+1} - p_t)$ es sólo el registro de la tasa de inflación, a continuación, $\frac{p_{t+1}}{p_t}$ es la tasa de inflación y,

   la inflación sube en 1 punto porcentual

   significaría $\frac{p_{t+1}}{p_t}$ se va a poner +1, ¿verdad? Pero yo no podía pensar que el resultado sería la caída de $\frac{M}{P}$ la $\gamma$ punto. Lo que me estoy perdiendo?

   Y en segundo lugar, si el $(p_{t+1} - p_t)$ es sólo la tasa de inflación,(no la de registro de cualquiera), entonces me molesta más que el primero. Así, +1 cambio en la tasa de inflación se parece a nada, pero que íbamos a conseguir "$−\gamma(1 + p_{t+1} − p_t)$" en el lado derecho, derecho? ¿Cómo podría este ser el caso?

Answer 1

La respuesta para ambas preguntas es que para los pequeños $x$valores $$ \ln(1+x) \aprox x, $$ la diferencia es de menos de $x^2/2$. (Prueba de Taylor-aproximación.)

Así que si la inflación es de alrededor de 10%, entonces el error absoluto de este tipo de aproximación es menor a 0.5%, lo cual está bastante bien.

Esto también debe responder a su segunda pregunta, como la aproximación $$ \gamma x \approx \ln(1+ \gamma x), $$ funciona igual de bien.

También puede ser vale la pena mirar en la elasticidad.