¿Modelo Heston de reversión media?

Question

¿Existe un nombre para una variación del modelo de proceso estocástico de Heston en el que no sólo la volatilidad subyacente, sino el precio del activo en sí, es de reversión media? Estoy tratando de modelar los rendimientos de los índices de renta variable a largo plazo, que yo diría que muestran tanto la volatilidad como el precio del activo con un comportamiento de reversión media. Evidentemente, cuando un índice de renta variable podría pensarse que (al menos aproximadamente) revierte la media a una volatilidad fija a largo plazo, también revierte la media al punto de precio del activo esperado por los rendimientos compuestos anualizados (alrededor del 7% en términos reales para el SP500).

Por lo que sé, el modelo de Heston no hace nada para dar cuenta del segundo comportamiento. ¿Cómo se podría modificar el modelo para tenerlo en cuenta?

Edición: He intentado considerar el siguiente modelo. ¿Alguna opinión al respecto?

$dS_t = \sqrt{v_t}S_tdB_t^{(1)} + a_1(\mu_t - S_t)$

Dónde $u_t := \mathbb{E}[S_t]$ es el equilibrio esperado en el momento t según la composición anualizada esperada, $a_1$ es la velocidad de reversión media del precio, $B_t^{(1)}$ es un movimiento browniano unidimensional, y $v_t$ es el proceso de varianza $\{v_t, t\geq 0\}$ como se define con:

$dv_t = \sigma\sqrt{v_t}dB_t^{(2)} + a_2(v_t - \nu)$

Donde, a su vez, $\sigma$ es la constante de vol, $B_t^{(2)}$ es un movimiento browniano unidimensional correlacionado con $B_t^{(1)}$ por $Cov(B_t^{(1)},B_t^{(2)})=\rho$ , $a_2$ es la velocidad de reversión media de la volatilidad, y $\nu$ es la media a largo plazo de la volatilidad.

Edición 2: Quise decir que los rendimientos se revierten, no un nivel de precios fijo.

Answer 1

Empecemos con el modelo clásico de Heston con precio subyacente $S_t$ y la varianza $v_t$ ,

\begin{align} \frac{dS}{S}&=\mu dt+\sqrt{v_t}dW_1\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2 \end{align} y $E(dW_1dW_2)=\rho dt$

A partir de aquí, si quieres introducir una reversión media nivel de precios Podría sugerir el siguiente ajuste de su proceso de activos:

$$ dS/S=\kappa_S(\theta_S-lnS_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1 $$

En términos generales, $e^{\theta_s+g(\theta,\kappa,\sigma,\rho)}$ es el nivel de precios a largo plazo, con $g$ algún término de corrección para la varianza del estado estacionario.

Ahora podemos simular directamente esta configuración, o hacer uso de la maquinaria de la transformada de Fourier para procesos de difusión de salto lineal sabiendo que - bajo la transformación $y=lnS$ - el sistema

\begin{align} dy&=\kappa_S(\theta_S-y-0.5v_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2 \end{align}

está claramente en la clase de los procesos lineales. El siguiente paso sería realizar el análisis en DPS2000.

EDITAR

Bajo la medida física, si quiere modelar su devuelve para que sea de media-reversión, deberías ser capaz de trabajar con lo siguiente:

\begin{align} dy&=(\mu_t-0.5v_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2\\ d\mu&=\kappa_{\mu}(\theta_{\mu}-\mu_t)dt+\sigma_{\mu}dW_3 \end{align}

e incluso debería poder especificar correlaciones entre $dW_1,dW_3$ y $dW_2,dW_3$ .

Sin embargo, bajo la medida de riesgo neutro, se debería poder introducir un proceso de reversión media de la tasa de rendimiento sin riesgo. De nuevo, véase la fuente 1 arriba.