¿Por qué la aversión al riesgo utiliza la varianza en lugar de la desviación estándar?

Question

El componente de aversión al riesgo de una función de utilidad de la cartera se expresa como la varianza de la cartera. ¿Por qué se utiliza aquí la varianza, en lugar de la desviación estándar?

Hago esta pregunta por el siguiente cálculo: supongamos que tengo una sola acción y también un parámetro fijo de aversión al riesgo. Entonces utilizo el tradeoff media-varianza para determinar la cantidad óptima de la acción a mantener. Si se utiliza la varianza en la función de utilidad, entonces puedo obtener una posición óptima porque la varianza es cuadrática de la posición. Sin embargo, si se utiliza la desviación estándar, entonces tanto la rentabilidad esperada como el riesgo son lineales en la posición, por lo que no podemos obtener una posición óptima en esta configuración. Por otro lado, si efectivamente la desviación estándar es también una opción razonable de expresión de la aversión al riesgo, entonces parece que la "posición óptima" obtenida utilizando la varianza es puramente un artefacto de la forma funcional seleccionada.

Answer 1

Empecemos con algunas matemáticas subyacentes. Primero, $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ pero el estimador insesgado de varianza mínima (MVUE) para la desviación estándar no es root cuadrada del MVUE de la varianza, $\hat{\sigma}\ne\sqrt{\hat{\sigma^2}}.$ Tomar root cuadrada del estimador muestral insesgado de la varianza introduce un sesgo porque es una función no lineal. Véase derivación de MVUE de SD Si se conocen los parámetros, no importa cómo se haga.

El cálculo estocástico frecuentista estándar asume que los parámetros son conocidos, aunque no lo sean. No obstante, existe una ventaja, si se cree que la gente va a crear estimaciones a partir de la fórmula, de utilizar la varianza, ya que es el segundo momento central de una distribución. Si existe una función generadora de momentos, entonces la función generadora de momentos define de forma única la distribución.

Si se conocen los parámetros, entonces minimizar la varianza y minimizar el cuadrado de la desviación estándar es lo mismo. También sería cierto en una situación de equilibrio media-varianza. Si no se conocen los parámetros, y dependiendo en parte de sus supuestos de estimación como Frequentist, Likelihoodist o Bayesian, entonces su forma funcional afecta a los cálculos. Como la economía es principalmente una disciplina frecuentista, sobre todo por defecto, la distinción importa, excepto en el caso extremadamente raro de que los parámetros se conozcan realmente.