Steven Shreve: Cálculo estocástico y finanzas

Question

Los apuntes de la conferencia tienen el siguiente teorema:

Dejemos que $\theta\in \mathbb{R}$ se le dé y $B(t)$ representa el movimiento browniano que es una martingala, entonces $Z(t)=exp\{-\theta B(t)-\dfrac{1}{2}\theta^2t\}$ también es una martingala.

$\underline{proof:}$ Dejemos que $0\leq s\leq t$ se le dará. Entonces $$\mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=\mathbb{E}[exp\{-\theta (B(t)-B(s)) -B(s) -\dfrac{1}{2}\theta^2((t-s)+s)\}|\mathbb{F}(s)]\Rightarrow \\ \mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=Z(s)\mathbb{E}[exp\{-\theta (B(t)-B(s)) -\dfrac{1}{2}\theta^2(t-s)\}|\mathbb{F}(s)]\Rightarrow \\ \mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=Z(s)exp\{\dfrac{1}{2}(-\theta)^2\mathbb{Var}(B(t)-B(s))-\dfrac{1}{2}\theta^2(t-s)\}=Z(s)$$ donde $X=B(t)-B(s)\sim N(0,t-s)$ . Mi pregunta es cómo se puede probar esta parte $\mathbb{E}[Z(t)|\mathbb{F}(s)]=Z(s)exp\{\dfrac{1}{2}(-\theta)^2\mathbb{Var}(B(t)-B(s))-\dfrac{1}{2}\theta^2(t-s)\}$ analíticamente utilizando el pdf normal. Me falta algo en mi esfuerzo por demostrar esta parte, porque ningún libro de texto de los que tengo lo hace analíticamente.

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que $B_t=B_s+(B_t-B_s)$ que es la suma de variables aleatorias independientes distribuidas normalmente. En particular, $B_s$ es $\mathbb{F}_s$ -medible y $B_{t-s}$ es independiente de $\mathbb{F}_s$ . Así, \begin{align*} \mathbb{E}_s[Z_t] &= \mathbb{E}_s\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2t+\theta B_t\right)\right] \\ &= \mathbb{E}_s\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2t+\theta B_s+\theta B_{t-s}\right)\right] \\ &= \exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2s\right)\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)\right)\cdot\mathbb{E}_s\left[\exp\left(\theta B_s+\theta B_{t-s}\right)\right]\\ &= \exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2s\right)\cdot\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)\right)\cdot\exp\left(\theta B_s\right)\cdot\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta B_{t-s}\right)\right]\\ &= Z_s\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)\right)\cdot\exp\left(\frac{1}{2}\theta^2 \mathrm{Var}[B_{t-s}]\right) \\ &= Z_s\exp\left(-\frac{1}{2}\theta^2(t-s)+\frac{1}{2}\theta^2 (t-s)\right) \\ &= Z_s. \end{align*}

Y has terminado y has demostrado que $(Z_t)$ es una martingala (con respecto a la filtración natural del movimiento browniano).

No es necesario integrar la densidad normal. Eso es tedioso. Primero debes descomponer el movimiento browniano como se mencionó al principio. El $-\frac{1}{2}\theta^2t$ puede dividirse de forma similar y sacarse de la expectativa, ya que no es aleatoria. Entonces, se puede utilizar la mensurabilidad y la independencia (dos propiedades clave de la expectativa condicional) para sacar $B_s$ y reducir la expectativa condicional de $B_{t-s}$ a una simple expectativa. Entonces, observe que $B_{t-s}\sim N(0,t-s)$ y que $\mathbb{E}\left[e^{m+sZ}\right]=e^{m+0.5s^2}$ - una fórmula útil a tener en cuenta.