Transformación de Girsanov y Proceso de Probabilidad Nacional a Extranjero

Question

Trabajar dos ejercicios relacionados con $Q^d$ y $Q^f$ . Me siento cómodo trabajando con transformaciones y procesos de probabilidad en un activo de riesgo entre $Q$ y $Q^s$ y también en un tipo de cambio $X$ entre $Q$ y $Q^d$ pero básicamente estoy empleando una metodología análoga aquí en la transformación de $Q^d$ a $Q^f$ y no estoy seguro de que esto sea correcto. De todos modos,

Considere el tipo de cambio nacional/extranjero $X$ y el proceso de probabilidad

$$L_t=\frac{dQ^f}{dQ^d}$$

a) Encuentre la transformada de Girsanov entre $Q^d$ y $Q^f$ .

Por lo tanto, ya he resuelto el $Q^d$ dinámica de $X$ como $$X_t=(r^d-r^f)X_tdt+\sigma_xX_tdW^{Q^d}$$ Ahora, considere el proceso $$\frac{B^d_t}{X_t}$$ Tenemos $$d(\frac{B^d_t}{X_t})=\frac{B^d_t}{X_t}(\frac{dB^d_t}{B^d_t}-\frac{dX_t}{X_t}+(\frac{dX_t}{X_t})^2)<=>$$ $$d(\frac{B^d_t}{X_t})=\frac{B^d_t}{X_t}(r^ddt-(r^d-r^f)dt-\sigma_xdW^{Q^d}+\sigma^2_xdt)<=>$$ $$d(\frac{B^d_t}{X_t})=\frac{B^d_t}{X_t}((r^f+\sigma^2_x)dt-\sigma_xdW^{Q^d})$$ Ahora, por Girsanov, $dW^{Q^d}=\varphi^fdt+dW^{Q^f}$ Por lo tanto $$d(\frac{B^d_t}{X_t})=\frac{B^d_t}{X_t}((r^f+\sigma^2_x-\varphi^f\sigma_x)dt-\sigma_xdW^{Q^f})$$ Para un $Q^f$ -MG, $$r^f+\sigma^2_x-\varphi^f\sigma_x=0<=>\varphi^f=\frac{\sigma^2_x+r^f}{\sigma_x}$$ Conectando esto de nuevo a la $Q^d$ -dinámica de $X$ produce $$X_t=(r^d-r^f)X_tdt+\sigma_xX_t(\frac{\sigma^2_x+r^f}{\sigma_x}dt+dW^{Q^f})<=>$$ $$X_t=(r^d+\sigma^2_x)X_tdt+\sigma_xX_tdW^{Q^f}$$

b) Deduzca una expresión para $L_t$

Básicamente estoy recibiendo tonterías por esto, así que ni siquiera voy a perder el tiempo escribiéndolo. Termino con $L_t=X_t\cdot \frac{B^f_t}{B^d_t}$

Answer 1

Dejemos que $(V_t)_{t \geq 0}$ denotan un proceso de riqueza autofinanciada en unidades monetarias extranjeras. En ausencia de arbitraje, el primer proceso debería surgir como una martingala cuando se expresa en el mercado monetario extranjero numéraire, es decir $$ V_0 = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^f} \left[ \frac{B_0^f}{B_T^f} V_T \right] \tag{1} $$

Aún así, por ausencia de arbitraje, el valor de ese mismo proceso de riqueza cuando se convierte en unidades de moneda nacional utilizando el tipo de cambio vigente, es decir $(X_t V_t)_{t \geq 0}$ debería surgir como una martingala cuando se expresa en el mercado monetario nacional numérico, es decir $$ X_0 V_0 = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^d} \left[ \frac{B_0^d}{B_T^d} X_T V_T \right] \tag{2} $$ Reorganización de $(1)$ y $(2)$ uno recibe: $$ V_0 = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^f} \left[ \frac{B_0^f}{B_T^f} V_T \right] = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^d} \left[ \frac{B_0^d}{B_T^d} \frac{X_T}{X_0} V_T \right] $$ de lo que se puede deducir que $$ \left. \frac{d\Bbb{Q}^f}{d\Bbb{Q}^d} \right\vert_{\mathcal{F}_T} = \frac{B_0^d X_T B_T^f}{B_T^d X_0 B_0^f} \tag{3} $$ Ahora ha encontrado que el tipo de cambio FOR/DOM $(X_t)_{t \geq 0}$ verifica la SDE $$ X_t=(r^d-r^f)X_tdt+\sigma_xX_tdW^{Q^d} $$ de lo que se puede deducir que \begin{align} X_T &= X_0 \exp\left(\left((r^d-r^f)-\frac{1}{2}\sigma_x^2\right)T + \sigma_x W_T^{\Bbb{Q}^d} \right) \\ &= X_0 \frac{B_T^d}{B_T^f} \mathcal{E}\left[ \sigma_x W_T^{\Bbb{Q}^d} \right] \end{align} tal que, observando además que por definición $B_0^d = B_0^f = 1$ la derivada de Radon-Nikodym (3) puede reescribirse como $$ \left. \frac{d\Bbb{Q}^f}{d\Bbb{Q}^d} \right\vert_{\mathcal{F}_T} = \mathcal{E}\left[ \sigma_x W_T^{\Bbb{Q}^d} \right] $$ que es una exponencial de Doléans-Dade (por tanto, una martingala con expectativa unitaria).