¿El valor de un equilibrio de Nash de estrategia pura (si existe) es igual al valor del equilibrio de Nash de estrategia mixta en un juego de suma cero de dos personas?

Question

Dado un juego de suma cero de dos personas, siempre existe un equilibrio de Nash con estrategias mixtas y todos estos equilibrios tienen el mismo valor. Sin embargo, un equilibrio de Nash con estrategias puras puede no existir.

Mi pregunta es: supongamos que existe un equilibrio de Nash con estrategias puras, ¿su valor es igual al valor del equilibrio de Nash con estrategias mixtas?

Answer 1

Los equilibrios de Nash de estrategias puras son un subconjunto de los equilibrios de Nash de estrategias mixtas, por lo que mientras tu declaración

un equilibrio de Nash de estrategia mixta siempre existe y todos esos equilibrios tienen el mismo valor

es verdad, todos los equilibrios de Nash de estrategia pura también tendrán el mismo valor.

Answer 2

Solo para tener cuidado, la equivalencia anterior no tiene por qué cumplirse en juegos en general. Considere el siguiente juego (que es un cambio en el juego de "matching pennies"):

$$\begin{array}{c|c|c|c|} & \text{H} & \text{T} & \text{P}\\ \hline \text{H} & (1,-1) & (-1,1) & (-2,-2) \\ \hline \text{T} & (-1,1) & (1,-1) & (-2,-2) \\ \hline \text{P} & (-2,-2) & (-2,-2) & (-2,-2) \\ \hline \end{array}$$

Este juego tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura $(P,P)$ que produce -2 para cada jugador.

Sin embargo, una estrategia mixta del juego implica $\big\{\frac{1}{2}\circ H; \frac{1}{2}\circ T; 0 \circ P\big\}$ para cada jugador (es decir, cada jugador se randomiza uniformemente entre H y T). Esta estrategia mixta produce un valor de 0 para cada jugador. El problema surge porque puede haber equilibrios de Nash en estrategias dominadas (débilmente).