Optimización con restricciones: fusionar dos restricciones en una

Question

Considere el siguiente problema $$\begin{align} &\max_u F(x,u)\\ \text{s.t. }& u \in [0,\bar u]. \end{align}$$

Alguna idea de cómo fusionar las dos restricciones $u \geq 0$ y $\bar u - u \geq 0$ en una sola restricción $f(u,\bar u) \geq 0$ ?

Answer 1

$$0\leq u \leq \bar u \implies -\frac {\bar u}{2} \leq u - \frac {\bar u}{2} \leq \frac {\bar u}{2}$$

$$\implies \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \leq \frac {\bar u}{2}$$

$$\implies \frac {\bar u}{2} - \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \geq 0$$

ADDENDUM En un comentario se propuso que podríamos utilizar la expresión al cuadrado para lograr la diferenciabilidad en todas partes,

$$\frac {\bar{u}^2}{4} - \left ( u - \frac {\bar u}{2}\right)^2 \geq 0$$

Veamos: entonces se nos permite descomponer el cuadrado y escribir

$$\frac {\bar{u}^2}{4} - u^2 + u\bar u - \frac {\bar{u}^2}{4} \geq 0$$

$$\implies -u^2 + \bar u u \geq 0 \implies u(\bar u -u) \geq 0$$

que no es más que la multiplicación de las dos restricciones separadas.

ADDENDUM II
Si tenemos $u \in [a,b]$ para $a<b$ reales arbitrarios, entonces la expresión general es

$$-u^2+(a+b)u-ab\geq 0$$