Integral de movimiento browniano con respecto al tiempo e integral que no comienza en cero

Question

Soy nuevo en cálculo estocástico y estoy tratando de calcular (1) la media y (2) la varianza de $$\int_s^t W_u du$$ donde $W_u$ es un movimiento Browniano. Ya encontré esta respuesta útil, donde se mostró que $\int_0^t W_u du \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{3}t^3)$ Usando la misma lógica puedo mostrar que $$\int_s^t W_u du = \int_s^t (t-u) dW_u $$ ¿Puedo seguir que $$\mathbb{E}\biggl[\int_s^t W_u du \biggl] = \mathbb{E}\biggl[\int_s^t (t-u) dW_u \biggl] = 0 \text{ ?}$$ y si la media es cero $$Var\biggl[\int_s^t W_u du \biggl] = Var\biggl[\int_s^t (t-u) dW_u \biggl] = \mathbb{E}\biggl[\biggl(\int_s^t (t-u) dW_u \biggl)^2\biggl] = \mathbb{E}\biggl[\int_s^t (t-u)^2 du \biggl] \text{ ?}$$ ¿Y si es así, por qué es esto cierto?

¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Si $s>0$, y la integral va desde $u=s$, entonces la integral solo tiene sentido si condicionamos en lo que sabemos hasta el tiempo $s$: podemos escribir $W(s)=k$, donde $k$ es una constante conocida en el tiempo $s$, es decir, el valor del movimiento Browniano $W_u$ conocido en el tiempo $u=s$ (puede ser cero, pero no necesariamente).

Entonces, tenemos:

$$\mathbb{E}\left[\int_{u=s}^{u=t}W_udu|\mathcal{F}_s\right]=\int_{u=s}^{u=t}\mathbb{E}[W_u|\mathcal{F}_s]du=k(t-s)$$

Arriba, $\mathcal{F}_s$ es la sigma-álgebra en el tiempo $s$, es decir, "la información conocida hasta el tiempo $s$".

La varianza se puede calcular usando Ito Isometry como lo has mencionado correctamente.

Para cualquier proceso adaptado $X_t$, Ito Isometry establece que:

$$\mathbb{E}\left[\int_{u=s}^{u=t}X_udW_u\right]^2=\int_{u=s}^{u=t}\mathbb{E}[X_u^2]du$$

Si necesitas la demostración de Ito Isometry, se trata simplemente de escribir la Integral de Ito desde primeros principios como una suma de incrementos Brownianos y usando el lema de Ito. Avísame si necesitas la demostración.

Entonces básicamente la varianza será:

$$Var\left(\int_{u=s}^{u=t}(t-u)dW_u\right)=\mathbb{E}\left[\left(\int_{u=s}^{u=t}(t-u)dW_u\right)^2\right]-\mathbb{E}\left[\int_{u=s}^{u=t}(t-u)dW_u\right]^2=\\=\int_{u=s}^{u=t}(t-u)^2du-(k(t-s))^2$$