Esta es una derivación de "Ejercicios de teoría macroeconómica recursiva preliminar e incompleta de Stijn Van Nieuwerburgh Pierre-Olivier Weill Lars Ljungqvist Thomas J. Sargent".
que utiliza la integración por partes. ¿Puede alguien explicar cómo funciona esta derivación? He intentado replicar el resultado pero sin éxito. El texto dice que utilizan la integración por partes en la segunda integral de la segunda línea [la integral de w a B de w'dF(w') ]
La integral de interés es ∫Bw∗w′dF(w′) que obtenemos después de traer 11−β de la última integral de la segunda línea. Supongo que F(B)=1 . Primero, tenemos:
∫Bw∗w′dF(w′)=w′F(w′)|Bw∗−∫Bw∗F(w′)dw′ de la integración por partes con u=w′ y dv=dF(w′) . Podemos evaluar el primer término del lado derecho y tanto sumar como restar B−w∗=∫Bw∗dw′ para conseguirlo:
∫Bw∗w′dF(w′)=[B−w∗F(w∗)]−[B−w∗]+∫Bw∗(1−F(w′)dw′.
Tenga en cuenta que he utilizado mi suposición inicial aquí, y que he traído B−w∗=∫Bw∗dw′ bajo la integral preexistente. Debería estar claro después de un poco de álgebra que:
∫Bw∗w′dF(w′)=w∗(1−F(w∗))+∫Bw∗(1−F(w′)dw′.
El resto debería ser fácil después de multiplicar ambos lados por el β1−β factor.
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