La economía es conocida por importar métodos matemáticos que han demostrado ser útiles en otras áreas.
¿Hay algún resultado importante en matemáticas que se haya desarrollado por primera vez en el contexto de la investigación económica y que luego se haya explorado en otros campos aplicados, como la física o la ingeniería?
Podría decirse que el teorema de la envoltura es uno de ellos, https://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem . Yo diría que los trabajos de Blackwell sobre las comparaciones de experimentos son una contribución matemática importante, que amplía los resultados anteriores de Hardy, Littlewood y Polya, y que abre el camino a nuevas investigaciones.
Los econometristas también han realizado aportaciones estadísticas; véase, por ejemplo, el https://en.wikipedia.org/wiki/Heckman_correction .
Más recientemente, vi un trabajo presentado el año pasado sobre cómo un cierto tipo de EDP estocástica podía resolverse reinterpretándola como una diferencial (estocástica) juego . Espero ver más cosas relacionadas con esto (la relación entre los juegos diferenciales y los pdes estocásticos) en los próximos años, especialmente dado el reciente aumento del interés por los juegos de campo medio.
El resultado de la comparación de los experimentos es fruto de la estadística comprobada por un estadístico.
@MichaelGreinecker Esto no es estrictamente cierto. Blackwell extendió los resultados de Hardy, Littlewood y Polya a espacios de dimensión finita. Alrededor de la misma época, Stein y Sherman demostraron resultados relacionados y, entre otras cosas, respondieron a preguntas planteadas por Blackwell. Sin embargo, Blackwell hizo una contribución significativa.
Conozco muchos ejemplos de resultados matemáticos que se han desarrollado por primera vez en la economía, en su mayoría resultado del análisis de conjuntos de valores y del análisis convexo. Mi ignorancia de la ingeniería y la física me impide enumerar muchos ejemplos allí. Muchos resultados en transporte óptimo se han utilizado ciertamente en muchos otros ámbitos.
El teorema del punto fijo de Kakutani también debería estar en la lista, en mi humilde opinión. Ahora bien, Shizuo Kakutani era un matemático puro que publicó este resultado puramente matemático en una revista de matemáticas puras:
Kakutani, Shizuo. "Una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer". Duke mathematical journal 8.3 (1941): 457-459.
Entonces, ¿por qué debería contar? Pues bien, el teorema del punto fijo de Kakutani es en gran medida una variante (con una demostración simplificada) de un lema que John von Neumann introdujo en el coloquio matemático de Karl Menger para resolver un modelo de crecimiento económico.
Von Neumann, John. "Sobre un sistema de ecuaciones económicas". Ergebn. coloquio matemático. Viena. Vol. 8. 1937.
En realidad, se puede demostrar la existencia de soluciones al modelo por métodos más sencillos, como finalmente hizo David Gale, pero aquí está el resultado de von Neumann en lenguaje moderno:
Teorema: Dejemos que $C$ y $K$ sean subconjuntos convexos y compactos no vacíos de espacios euclidianos (de no necesariamente la misma dimensión). Sea $E$ y $F$ sean subconjuntos cerrados de $C\times K$ tal que para cada $x\in C$ , el conjunto $E_x=\{y\in K\mid (x,y)\in E\}$ es no vacía, convexa y compacta y tal que para cada $y\in K$ el conjunto $F^y=\{x\in C:(x,y)\in F\}$ es no vacío, convexo y compacto. Entonces $E\cap F\neq\emptyset$ .
Que el teorema del punto fijo de Kakutani implica el resultado de von Neumann se muestra en el artículo de Kakutani. Pero el teorema del punto fijo de Kakutani es también una consecuencia fácil del teorema de von Neumann. Si $C=K$ entonces los supuestos de $E$ dicen que $E$ es el gráfico de una correspondencia hemicontinua superior con valores no vacíos, convexos y compactos de $C$ a sí mismo. Que esta correspondencia tenga un punto fijo equivale a un punto de la forma $(x,x)$ en el gráfico. Ahora bien, si dejamos que $F$ siendo la diagonal de $C$ Es decir $F=\{(x,x)\mid x\in C\}$ entonces $E$ y $F$ satisfacen las condiciones del resultado de von Neumann, por lo que la intersección debe ser vacía y la correspondencia con el grafo $E$ debe tener un punto fijo.
Se puede encontrar una reimpresión del artículo de von Neumann en este libro . Se puede encontrar una traducción al inglés aquí .
Me gustaría añadir dos puntos adicionales:
El Teorema de Arrow-Endhoven, que se basa claramente en consideraciones económicas, y una versión más fuerte del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker (que no se basa en la economía).
Otra contribución que se basa, al menos en parte, en la economía (pero no en un economista puro) es la demostración del Mini-Teorema Max de von Neumann (pero, por lo que sé, este resultado es ampliamente ignorado hoy en día, ¿o no?).
p. s. No quiero discutir sobre el Teorema de la Envoltura, pero creo haber visto en alguna parte una afirmación de que el teorema básico tiene su origen en otro lugar. Lo investigaré más adelante.
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