¿Cuál es el propósito de la suposición de no saturación local en el primer teorema del bienestar?

Question

La hipótesis de la maximización de los beneficios implica $$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$$

Vale, esto sólo dice que si el agente maximiza la utilidad / es racional, entonces si no elige un paquete estrictamente preferible a su paquete, entonces no debe ser asequible.

¿Por qué es necesario el supuesto de no saturación local para decir entonces

$$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$$

¿Por qué esto no es automático desde el supuesto de maximización de beneficios? Si sabemos $x_i \succ x_i^* \implies p_ix_i > p_i w_i$ ¿no es obvio que $x_i = x_i^* \implies p_ix_i = p_i w_i$ y así $$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$$

Answer 1

Los supuestos son diferentes. La primera afirma que si un paquete es mejor que el óptimo, el consumidor no puede permitírselo. La segunda afirma que si un paquete es tan bueno (no necesariamente mejor) como el óptimo, tiene que costar al menos lo mismo, no menos.

Considere un espacio con un solo tipo de bien, $x$ y una función de utilidad $U(x) = 0$ . Sea la dotación del consumidor $w = 1$ . Mientras que $$ \text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i $$ sigue siendo cierto, $$ \text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i $$ no lo es, porque $x^* = 0$ es óptimo y factible, por lo que $$ x^* \succeq x^* \text{ AND } p x^* < p w. $$ También se pueden construir ejemplos más complicados (bienes múltiples, cumplimiento de la no saturación global).

Answer 2

Bien, creo que ahora entiendo por qué es importante la no relación local para tender a una asignación de mercado óptima de Pareto. Considere la siguiente imagen, donde todos los círculos representan posibles asignaciones, y su posición en el gráfico representa la utilidad recibida por cada persona en un mercado simple de dos personas:

En este caso, X, Y, Z y D dan a la persona 1 la misma utilidad. En esta situación, X, Y y Z son todos los equilibrios posibles dados los mercados completos y el comportamiento de toma de precios, aunque no sean pareto-óptimos.

En una situación de no-causalidad local, esta situación no podría existir, y por lo tanto se asegura un equilibrio óptimo de pareto.

La optimización de pareto débil no requiere la no-saciedad local.