Curvas de proyección y de descuento

Question

Estoy tratando de entender mejor el bootstrapping de varias curvas, pero es evidente que estoy entendiendo mal lo que se quiere decir:

a) curva de proyección

b) curva de descuento

He intentado buscar las definiciones en Google pero no me aclara nada.

¿Podría alguien ayudar a dar una definición y un ejemplo?

Yo había pensado que (por ejemplo) una curva LIBOR de 3m utilizaría una curva de descuento (es decir, los Fondos Federales) para los plazos inferiores a 3m y luego el LIBOR de 3m para los plazos superiores a 3m (curva de proyección).

Pero cuanto más leo, menos me parece una definición plausible.

Answer 1

Si me comprometo a pagarte 1.000 dólares dentro de un año, podemos utilizar una curva de descuento para saber cuánto vale esto en dólares de hoy. Si le prometo que le pagaré "3m LIBOR sobre un millón de dólares" dentro de un año, tenemos que dar dos pasos: (1) Averiguar la estimación actual del mercado de lo que será el LIBOR de 3m, y convertirlo a dólares, (2) Descontar esta cantidad con la curva de descuento. La curva de proyección se utiliza para realizar el paso (1).

Las dos curvas son conceptualmente distintas, aunque en el pasado la distinción no se consideraba importante y las 2 curvas se derivaban de la misma información subyacente (utilizando algunos supuestos simplificadores). La curva de descuento representa los tipos de interés entre el momento actual y una fecha futura. La curva de proyección se refiere a los tipos de interés a plazo de 3 meses medidos en una fecha futura.

Answer 2

Examinemos lo que ocurre cuando fijamos el precio de nuestro pan de cada día, el swap de tipos de interés vainilla, en dos mundos: el de la curva única y el de la curva múltiple.

Que la primera fecha de reajuste sea $T_\alpha$ y la última fecha de pago sea $T_\beta$ .

En el mundo de la curva única, el IRS vainilla tiene PV en el tiempo $t$ para ser $$ \begin{align} \pi_t & = \mathbb{E}^{ \mathbb{Q} }_{t} \left[ \sum_{i} D_{tT_i} \tau_i \left[ L(T_{i-1};T_{i-1},T_i) - K \right] \right] \\ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \left[ \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^{T_i} }_{t} \left[ L(T_{i-1};T_{i-1},T_i) \right] - K \right] \\ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \left[ L(t;T_{i-1},T_i) - K \right] \\ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i L(t;T_{i-1},T_i) - K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \\ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \frac{1}{\tau_i} \left[ \frac{P_{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] - K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \\ & = \sum_{i} P_{tT_i} \left[ \frac{P_{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] - K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \\ & = P_{tT_\alpha} - P_{tT_\beta}-K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \end{align} $$

En el mundo de las curvas múltiples, el IRS vainilla tiene PV en el tiempo $t$ para ser

$$ \begin{align} \pi_t & = \mathbb{E}^{ \mathbb{Q} }_{t} \left[ \sum_{i} D^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \left[ L(T_{i-1};T_{i-1},T_i) - K \right] \right] \\ & = \sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \left[ \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^{T_i} }_{t} \left[ L(T_{i-1};T_{i-1},T_i) \right] - K \right] \\ & = \sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \left[ L(t;T_{i-1},T_i) - K \right] \\ & = \sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i L(t;T_{i-1},T_i) - K \sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \\ & = \sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \frac{1}{\tau_i} \left[ \frac{P_{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] - K \sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \\ \end{align} $$ Configuración $\pi_t=0$ es decir, entrar en el swap en el momento $t$ no tiene ningún coste, significa que el tipo de cambio es $$ K=\frac{\sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i \frac{1}{\tau_i} \left[ \frac{P_{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] }{\sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i} $$

La diferencia es que ahora se requieren ambas curvas ZCB para valorar el swap. La medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ está ahora explícitamente bajo la curva de descuento. Se sigue asumiendo que la curva de proyección es una martingala bajo $\mathbb{Q}$ Sin embargo.