En clase hemos repasado un lema que conduce a un teorema más amplio. El lema dice:
Dejemos que $\succeq$ sea una relación de preferencia racional sobre $\mathscr{L}$ y que $\succeq$ admiten la representación de la utilidad bajo las expectativas de Von-Neumann-Morgenstern. Entonces
- $U(\sum_{k=1}^{K} \alpha_k L_k) = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k \ U(L_k)$
- $\succeq$ satisface la independencia
- Toda representación lineal $V$ de $\succeq$ es una transformación afín positiva de $U$ . Así que $V = \beta U + \gamma$ donde $\beta > 0$
Como prueba de ello, he aquí algunos trabajos realizados hasta ahora:
1:
Dejemos que $L_k = (\Pi^k_1, \Pi^k_2, ..., \Pi_s^k)$ $$U(\sum_{k=1}^{K} \alpha_k L_k) = \sum^s_{i=1}\sum^K_{k=1}\Pi^k_i \alpha_k u_i$$ por Von-Neumann-Morgenstern, donde $U(L) = \sum^s_{i=1}\Pi_i u_i $
$$\sum^s_{i=1}\sum^K_{k=1}\Pi^k_i \alpha_k u_i = \sum^K_{k=1} \alpha_k \sum^s_{i=1}\Pi^k_i u_i = \sum_{k=1}^{K} \alpha_k \ U(L_k)$$
2:
Considere $L_1, L_2, L_3 \in \mathscr{L}$ y decir $L_1 \succeq L_2$ .
$L_1 \succeq L_2 \iff U(L_1) \geq U(L_2)$
Toma $\alpha \in (0,1)$ y definir
$$L_4 = \alpha L_1 + (1-\alpha)L_3$$ $$L_5 = \alpha L_2 + (1-\alpha)L_3$$
Diga $L_5 \succ L_4$
$\implies U(L_5) > U(L_4)$ y de 1.)
$$U(L_5) = \alpha U(L_2) + (1-\alpha) U(L_3)$$ $$U(L_4) = \alpha U(L_1) + (1-\alpha) U(L_3)$$
$$\implies \alpha U(L_2) + (1-\alpha) U(L_3) > \alpha U(L_1) + (1-\alpha) U(L_3) \implies U(L_2) > U(L_1)$$
que es una contradicción, por lo que la independencia debe mantenerse.
Supongo que la 3. es una especie de condición de "monotonicidad". ¿Cómo podría plantear la prueba de esta condición? Se agradecería cualquier pista. También me pregunto a qué conduce este lema, para poder estudiar por adelantado. ¿Alguien tiene alguna idea?
