Complementos perfectos - Equilibrio walrasiano

Question

Para una tarea, me esforcé por resolver la siguiente pregunta pero no pude ir más allá:

endowment of person 1 = (30,0)

endowment of person 2 = (0,20)

las funciones de utilidad son tales que: $$\begin{eqnarray*} U (a_1,b_1) & = & \min(a_1,b_1) \\ \\ U (a_2,b_2) & = & \min(4a_2,b_2). \end{eqnarray*}$$
Lo que estoy haciendo es poner a1 igual a b1 y 4a2 igual a b2. Después de eso estoy escribiendo esto; $$p_1 a_1 + p_2 b_1 = 30p_1 \mbox{ and } p_1a_2 + p_24a_2 = 20p_2$$ Finalmente, al ver la condición de viabilidad, estoy anotando: $$\begin{eqnarray*} \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{20p_2}{p_1+4p_2} & = & 30 \\ \\ \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{4 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & = & 20. \end{eqnarray*}$$

Aquí, si hago algunos cálculos, resultan $p_1 = p_2$ y en consecuencia $a_1=b_1=15, a_2=4$ y $b_2=16.$ Pero entonces el problema es que hay un exceso de demanda del bien2 y no hay un NOSOTROS.

Como alternativa, estoy considerando tener $p_2 = 0$ para que exista un Equilibrio Walrasiano.

PERO, estoy atascado en este punto y me falta la intuición correcta para resolver los próximos pasos. O bien, puede que esté en un camino completamente incorrecto. Por favor, explíqueme qué se hará con este exceso de demanda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si los precios $p_1$ y $p_2$ son positivas que, como has señalado, las ecuaciones $$\begin{eqnarray*} \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{20p_2}{p_1+4p_2} & = & 30 \\ \\ \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{4 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & = & 20. \end{eqnarray*}$$ mantener. Esto es problemático, porque al restar la primera ecuación de la segunda se obtiene $$\begin{eqnarray*} \frac{3 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & = & -10 \end{eqnarray*}$$ que no tiene solución para los precios positivos. Sin embargo, si un bien tiene precio cero, las ecuaciones de demanda son diferentes, ya que a nadie le importa comprar bienes superfluos mientras sean gratuitos. En $p_2 = 0$ tendrías $$\begin{eqnarray*} \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{20p_2}{p_1+4p_2} & = & 30 \\ \\ \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{4 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & \leq & 20. \end{eqnarray*}$$ Esto se debe a que $\frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{4 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2}$ es un mínimo que los compradores necesitan pero no les importa tener más ya que el bien 2 es gratuito. También existe una formulación de equilibrio, el "equilibrio de valor", que consiste en que para el bien $i$ $$\begin{eqnarray*} p_i \cdot D_i(p) = p_i \cdot S_i(p) \mbox{ and } D_i(p) \leq S_i(p) \end{eqnarray*}$$ lo que significa que puede haber un exceso de oferta de bienes de precio cero.
(Piensa en el aire. ¿Comprarías aire a alguien?)
Por desgracia, este sistema de ecuaciones seguiría implicando $$\begin{eqnarray*} \frac{3 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & \leq & -10 \end{eqnarray*}$$ que no tiene solución en precios no negativos. Por otro lado, para $p_1 = 0$ tendrías $$\begin{eqnarray*} \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{20p_2}{p_1+4p_2} & \leq & 30 \\ \\ \frac{30p_1}{p_1+p_2} + \frac{4 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & = & 20. \end{eqnarray*}$$ lo que implica $$\begin{eqnarray*} \frac{3 \cdot 20p_2}{p_1+4p_2} & \geq & -10. \end{eqnarray*}$$ Como $p_1 = 0$ cualquier positivo $p_2$ es una solución para esto.