Su fórmula parece correcta. Como suele ocurrir, hay varias formas de obtener este resultado. Aquí expondré dos de ellas.
Principio de reflexión y medida del cambio
La solución a la dinámica de riesgo neutro de $S$ es
\begin{equation} S_t = S_0 \exp \left\{ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) t + \sigma W_t^* \right\}, \end{equation}
donde $W^*$ es un $\mathbb{P}^*$ -Movimiento browniano. Tenemos $S_t = B$ cuando
\begin{equation} W_t^* + \frac{1}{\sigma} \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) t = \frac{1}{\sigma} \ln \left( \frac{B}{S_0} \right). \end{equation}
Ahora dejemos que
\begin{equation} \lambda = \frac{1}{\sigma} \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right), \qquad \alpha = \frac{1}{\sigma} \ln \left( \frac{B}{S_0} \right) \end{equation}
y definir una nueva medida de probabilidad $\hat{\mathbb{P}}$ equivalente a $\mathbb{P}^*$ mediante el proceso de derivación de Radon-Nikodym
\begin{equation} \xi_t \left( \mathbb{P}^*, \hat{\mathbb{P}} \right) = \left. \frac{\mathrm{d} \hat{\mathbb{P}}}{\mathrm{d} \mathbb{P}^*} \right| \mathfrak{F}_t = \mathcal{E}_t \left( - \int_0^\cdot \lambda \mathrm{d}W_u^* \right) \qquad \mathbb{P}^*\text{-a.s.}, \end{equation}
donde $\mathcal{E}$ es la martingala exponencial de Doleans-Dade. Por el teorema de Girsanov se deduce que el proceso $\hat{W}$ definido por
\begin{equation} \hat{W}_t = W_t^* + \lambda t \end{equation}
es un movimiento browniano estándar bajo $\hat{\mathbb{P}}$ . A continuación, por el principio de reflexión para el movimiento browniano, la PDF del primer tiempo de paso $\nu$ de $\hat{W}$ a un nivel $\alpha$ viene dada por
\begin{equation} \hat{\mathbb{P}} \left\{ \nu \in \mathrm{d}t \right\} = \frac{\vert \alpha \vert}{t \sqrt{2 \pi t}} \exp \left\{ -\frac{\alpha^2}{2 t} \right\} \mathrm{d}t; \end{equation}
véase, por ejemplo, la ecuación (II.6.3) en Karatzas y Shreve (1991), p. 80 o el teorema 3.7.1. en Shreve (2004), p. 113. Doy por sentado este resultado y se pueden encontrar detalles sobre su derivación en las referencias. Utilizando la regla de Bayes abstracta; véase, por ejemplo, el lema A.1.4 en Musiela y Rutkowski (2005), p. 615, obtenemos
\begin{eqnarray} \mathbb{P}^* \left\{ \nu \in \mathrm{d}t \right\} & = & \mathbb{E}_{\mathbb{P}^*} \left[ \mathrm{1} \{ \nu \in \mathrm{d}t \} \right]\\ & = & \mathbb{E}_{\hat{\mathbb{P}}} \left[ \xi_t^{-1} \left( \mathbb{P}^*, \hat{\mathbb{P}} \right) \mathrm{1} \{ \nu \in \mathrm{d}t \} \right]\\ & = & \mathbb{E}_{\hat{\mathbb{P}}} \left[ \exp \left\{ \lambda \hat{W}_t - \frac{1}{2} \lambda^2 t \right\} \mathrm{1} \{ \nu \in \mathrm{d}t \} \right]. \end{eqnarray}
Ahora, cuando $\nu = t$ entonces $\hat{W}_t = \alpha$ y por lo tanto
\begin{eqnarray} \mathbb{P}^* \{ \nu \in \mathrm{d}t \} & = & \exp \left\{ \lambda \alpha - \frac{1}{2} \lambda^2 t \right\} \hat{\mathbb{P}} \{ \nu \in \mathrm{d}t \}\\ & = & \frac{\vert \alpha \vert}{t \sqrt{2 \pi t}} \exp \left\{ -\frac{(\alpha - \lambda t)^2}{2 t} \right\} \mathrm{d}t. \end{eqnarray}
Tenga en cuenta que el $\alpha - \lambda t$ es igual a $Z$ en su referencia.
Diferenciar el precio de la opción de barrera
Dejemos que $\psi = -1$ ( $\psi = +1$ ) indican una barrera superior (inferior). Consideremos un contrato con el pago final $V_T = \mathrm{1} \{ \nu > T \}$ . Utilizando el método de las imágenes, se puede demostrar que su función de valoración en términos de tiempo de vencimiento $\tau = T - t$ viene dada por
\begin{equation} \tilde{V}(S, \tau) = \mathcal{B}_B^\psi(S, \tau) - \mathcal{I} \left\{ \mathcal{B}_B^\psi(S, \tau) \right\}, \end{equation}
donde
\begin{eqnarray} \mathcal{B}_B^\psi & = & e^{-r \tau} \mathcal{N} \left( \psi d_-(S, B) \right),\\ d_-(S, B) & = & \frac{1}{\sigma \sqrt{\tau}} \left( \ln \left( \frac{S}{B} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \tau \right),\\ \mathcal{I} \left\{ \tilde{V}(S, \tau) \right\} & = & \left( \frac{S}{B} \right)^{2 \alpha} \tilde{V} \left( \frac{B^2}{S}, \tau \right)\\ \alpha & = & \frac{1}{2} - \frac{r}{\sigma^2};\\ \end{eqnarray}
Véase, por ejemplo, Buchen (2001) o Wilmott et al. (1995). Obsérvese que el precio de la opción está vinculado a la FCD del primer tiempo de paso a través de
\begin{eqnarray} \mathbb{P}^* \{ \nu > \tau \} & = & e^{r \tau} \tilde{V}(S, \tau)\\ & = & \int_\tau^\infty \mathbb{P}^* \{ \nu \in \mathrm{d}\tau \} \end{eqnarray}
y por lo tanto
\begin{equation} \frac{1}{\mathrm{d} \tau} \mathbb{P}^* \{ \nu \in \mathrm{d}\tau \} = -\frac{\partial}{\partial \tau} \left\{ e^{r \tau} \tilde{V}(S, \tau) \right\}. \end{equation}
Diferenciando cuidadosamente los dos términos en $\tilde{V}(S, \tau)$ produce
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \tau} e^{r \tau} \mathcal{B}_B^\psi(S, \tau) & = & -\psi \mathcal{N}' \left( \psi d_-(S, B) \right) \frac{1}{2 \sigma \tau \sqrt{\tau}} \left( \ln \left( \frac{S}{B} \right) - \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \tau \right) \end{eqnarray}
y
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \tau} e^{r \tau} \mathcal{I} \left\{ \mathcal{B}_B^\psi(S, \tau) \right\} & = & -\psi \left( \frac{S}{B} \right)^{2 \alpha} \mathcal{N}' \left( \psi d_-(B, S) \right) \frac{1}{2 \sigma \tau \sqrt{\tau}} \left( \ln \left( \frac{B}{S} \right) - \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \tau \right). \end{eqnarray}
Mediante un poco de álgebra tediosa, podemos demostrar que
\begin{eqnarray} \left( \frac{S}{B} \right)^{2 \alpha} \mathcal{N}' \left( \psi d_-(B, S) \right) & = & \mathcal{N}' \left( \psi d_-(S, B) \right)\\ & = & \mathcal{N}' \left( d_-(S, B) \right). \end{eqnarray}
En consecuencia,
\begin{eqnarray} \frac{1}{\mathrm{d} \tau} \mathbb{P}^* \{ \nu \in \mathrm{d}\tau \} & = & \frac{-\psi \ln (B / S)}{\sigma \tau \sqrt{\tau}} \mathcal{N}' \left( d_-(S, B) \right). \end{eqnarray}
Es fácil comprobar que se trata de la misma expresión que hemos obtenido antes.
Referencias
Buchen, Peter W. (2001) "Las opciones de imagen y el camino hacia las barreras". Revista Risk , Vol. 14, No. 9, pp. 127-130
Karatzas, Ioannis y Steven E. Shreve (1991) Movimiento browniano y cálculo estocástico : Springer, 2ª edición.
Musiela, Marek y Marek Rutkowski (2005): Métodos de Martingala en la modelización financiera : Springer.
Shreve, Steven E. (2004) Cálculo estocástico para finanzas II - Modelos de tiempo continuo : Springer.
Wilmott, Paul, Sam Howison y Jeff Dewynne (1995) Las matemáticas de los derivados financieros : Cambridge University Press
