Cuasicavitación

Question

Dejemos que $f_1, f_2$ sean dos funciones suaves estrictamente cuasicóncavas. ¿Existen siempre transformaciones monótonas $g_1,g_2$ tal que la suma $g_1\circ f_1 + g_2 \circ f_2$ es una función estrictamente cuasicóncava?

Aunque esta cuestión es matemática, su motivación es económica. Dadas dos personas con preferencias estrictamente convexas, nos gustaría representar sus preferencias comunes mediante una función de bienestar social. Una forma natural de hacerlo es representar las preferencias de cada persona mediante una función estrictamente cuasicóncava y tomar su suma. Sin embargo, la suma de funciones estrictamente cuasicóncavas no es necesariamente cuasicóncava. Por lo tanto, es interesante saber si siempre podemos encontrar funciones representativas específicas de manera que la suma es ¿Casicóncavo?

Ya sé que, sin el "estrictamente", la respuesta es no. He aquí un ejemplo:

Ambas funciones son débilmente cuasicóncavas. Cuando una función es creciente, la otra es plana, y cuando la otra es decreciente, la primera es plana. Por tanto, independientemente de las transformaciones que les apliquemos, la suma se parecerá a una onda y no será cuasicóncava.

_{Nota: Hice esta pregunta <a href="https://mathoverflow.net/questions/292548/can-the-sum-of-quasiconcave-functions-always-be-made-quasiconcave">en MathOverflow </a>hace algún tiempo. Taneli Huuskonen propuso el ejemplo negativo para la función débilmente cuasicóncava, pero la cuestión de la función estrictamente cuasicóncava sigue abierta. Debido a la importancia económica de las funciones cuasicóncavas, pensé que alguien aquí podría tener una respuesta.}

Answer 1

En una dimensión si las funciones $f_i$ están acotadas, por ejemplo, definidas en un intervalo compacto, entonces sí. Tomemos $g_1$ tal que hace que $f_1$ casi constante, por ejemplo $g_1(x)=\frac{x}{N(\max f_1-\min f_1)}$ donde $N>0$ es grande. Toma $g_2(x)=x$ Entonces $g_1\circ f_1+g_2\circ f_2\approx f_2$ que es estrictamente cuasicóncavo por suposición.

En una dimensión, una función estrictamente cuasicóncava es estrictamente creciente, estrictamente decreciente o con un solo pico.