¿Por qué el factor de martingala es una martingala en la descomposición de valoración dinámica de Hansen de 2012?

Question

En esta pregunta, sigo explorando las herramientas utilizadas/presentadas en El artículo de Lars Hansen en Econometrica "Dynamic Valuation Decomposition within Stochastic Economies" (2012).

Esta podría ser una pregunta fácil, pero no la veo. En el artículo enlazado arriba, se presenta la factorización en la que un componente es una martingala. Véase la página 937. En esta página presenta esta fórmula y dice

Dada una solución de (21), construyo una martingala mediante $$ \widetilde M_t = \exp(-\rho t) M_t \left [ \frac{e(X_t)}{e(X_0)} \right ] $$ que a su vez es un funcional multiplicativo.

Tal vez sea fácil, pero no veo de inmediato cómo mostrar que $\widetilde M_t$ es una martingala. ¿Cómo puedo mostrar esto?

NOTA: Esta pregunta está relacionada con las dos siguientes:

• Factorización multiplicativa de series temporales de crecimiento estocástico--resolución de una función propia/vector propio
• Ejemplo del cambio de medida propuesto en Hansen (2012)

Answer 1

La idea es que después de resolver el problema de Perron-Frobenius, se tiene $e$ tal que \begin{align} E \left[\frac{M_{t+1}}{M_t} e(X_{t+1}) \middle | X_t = x \right] &= e(x) \exp(\eta) \\ E \left[\frac{M_{t+1}}{M_t} \frac{e(X_{t+1})}{e(X_t)} \exp(-\eta) \middle | X_t = x \right] &= 1 \\ E \left[\frac{\widetilde M_{t+1}}{\widetilde M_t} \middle | \mathcal F_t \right] &= 1 \\ E \left[\widetilde M_{t+1} \middle | \mathcal F_t \right] &= \widetilde M_t. \end{align}

Así, vemos que $\widetilde M_t$ es una martingala.