Estoy tratando de comprender las herramientas utilizadas/presentado en Lars Hansen Econometrica de papel "Dinámica de la Valoración de Descomposición dentro Estocástico Economías". En una parte en el papel, Hansen presenta un largo plazo de aproximación. Esta primera aproximación nos obliga a resolver un principio eigenfunction de una especie de esperanza condicional operador. Como un ejercicio, estoy tratando de resolver el siguiente ejemplo. $\newcommand{\E}{\mathbb E}$ Supongamos que $$ X_{t+1} = A X_t + B W_{t+1} $$ donde Una estable autovalores y $\{W_{t+1} : t = 0,1,... \}$ es un iid secuencia de multivariante estándar aleatorias distribuidas normalmente vectores. Supongamos que $$ \log M_{t+1} - \log M_t = D \cdot X_t + F \cdot W_{t+1}. $$ Quiero mostrar que existe una solución de la ecuación $$ \E \left [ \frac{M_{t+1}}{M_t} e(X_{t+1}) \mediados de X_t = x \right ] = \exp(\eta) e(x) \etiqueta{1} $$ por $\log e(x) = H \cdot x.$ También quiero calcular el valor de $\eta$.
Progreso:
El principio de que el problema es sencillo. Utilizando las propiedades de los log-normal de las variables aleatorias, se puede calcular a partir de (1) \begin{align} \exp\{ (D' + H A) x + \frac 12 (F' + H' B)'(F' + H B)\} &= \exp\{\eta + H' x\} \\ (D' + H'(a - I)) x + \frac 12 (F' + H B)'(F' + H B) &= \eta. \end{align} Esta es probablemente una simple pregunta desde aquí. Parece claro que existe una solución, y me han resuelto por $\eta.$ Pero por lo que puedo entender, la solución de este problema consiste en hacer una "conjetura" que $e$ fue lineal en $x$. No sé lo que $H$ es. Por lo tanto, necesito solucionar por $H$ y $\eta$. ¿Cómo puedo hacer esto?
Nota: Este problema está relacionado con este problema acerca de la "Descomposición de un aditivo funcional en una Martingala parte y de otra."
