Precio de los bonos según la medida de riesgo neutro

Question

¿Podría indicarme dónde estoy cometiendo un error en el proceso siguiente?

De la ecuación de la estructura temporal y del teorema de Feynman-Kac se deduce que el precio del bono viene dado por

$ p(t,T) = E_t^Q\left[ \exp\left( -\int_t^T r(u) du \right) \right], $

donde $E_t^Q$ denota la expectativa en el momento $t$ bajo la medida de riesgo neutral $Q$ .

Que la cuenta del mercado monetario sea

$ B(t) = \exp\left( \int_0^t r(u) du \right), $

y la expresión del precio del bono anterior se escribe como

$ p(t,T) = E_t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)} \right]. $

Dado que el numerario de $Q$ es $B$ se deduce de la propiedad de martingala que

$ E_t^Q\left[ \frac{B(t)}{B(T)} \right] = E_t^Q\left[ \frac{B(t)}{B(t)} \right] = 1. $

Así, $p(t,T)=1$ .

Answer 1

No, $B$ no es un $Q$ martingala, tampoco es $1/B$ que ha asumido en su cálculo (intente utilizar la constante $r$ para ver un ejemplo de por qué puede ser así). La medida $Q$ es una medida neutral al riesgo si los procesos de precios de las acciones que se descuentan por $B$ son martingalas.

Answer 2

Creo que tienes tu argumento ligeramente mezclado. Asumiendo la existencia de una medida neutral de riesgo $Q$ se sabe, por la fórmula de fijación de precios neutrales al riesgo, que el precio del bono descontado es una martingala, es decir, ( $D(t)$ siendo el factor de descuento) $$D(t)p(t,T) = E_t^Q[D(T)p(T,T)] = E_t^Q[D(T)].$$ Con $D(t) = \mathrm{exp}(-\int_0^t r(u) du)$ inmediatamente obtenemos $$p(t,T) = \frac{1}{D(t)}E_t^Q[D(T)] = E_t^Q[-\int_t^T r(u) du].$$ Por lo tanto, la ecuación del precio del bono incluye ya el numerario. Utilizarlo de nuevo no tendría sentido. Además, sin más información sobre $r(t)$ no es posible obtener una solución exacta para el precio de los bonos.