La familia de funciones de producción de potencia satisface las condiciones de Inada sobre un conjunto de valores de parámetros admisibles. En el caso con dos insumos, la forma funcional se da por:
$$ y = \alpha_{11} x_1^{\gamma_1} + \alpha_{22} x_2^{\gamma_2} + \alpha_{12} x_1^{\gamma_1/2}x_2^{\gamma_2/2}, $$
La función de producción de potencia $f$ satisface $f(0)=0$, $f(x) \geq 0$ y es creciente en cada $x_i$ si todos los $\alpha_{ij}>0$ y $ \gamma_{i}>0 $. Es cóncava en $x$ si además todos los $\gamma_{i}<1$, como una suma de funciones cóncavas.
Las derivadas parciales son: $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}( x ) = \frac{ \alpha_{ii} \gamma_i }{ x_i^{1-\gamma_i} } + \frac{ \alpha_{ij} \gamma_i/2 }{ x_i^{1-\gamma_i/2} }{x_j^{\gamma_j/2}} $$ El comportamiento límite de las derivadas parciales es compatible con las condiciones de Inada: $$ \lim_{x_{i}\rightarrow 0}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( x\right) =+\infty ,\qquad \lim_{x_{i}\rightarrow +\infty }\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( x\right) =0. $$
Esta función de producción de potencia se puede generalizar al caso de $J$ insumos de la siguiente manera: $$ y = h( \sum_{i=1}^J \sum_{j=1}^J \alpha_{ij} x_i^{\gamma_i/2}x_j^{\gamma_j/2} ), $$ donde la función $h$ satisface $h(0)=0$, y es creciente y cóncava. Consulte, por ejemplo, a Diewert (1971) para una contribución con $\gamma_i=\gamma_j=1$. Un argumento similar debería aplicarse a la familia de funciones de producción de Box-Cox.
Diewert, W. E., 1971, "An Application of the Shephard Duality Theorem: A Generalized Leontief Production Function," Journal of Political Economy, 79, 481-507.
