Fijación de precios Arrow-Debreu, problema del planificador

Question

Considere un bien único de dos períodos, $2$ modelo de agente. Los seres del tiempo en perios $0$ en un estado conocido (estado $0$ ) pero en el periodo $1$ el mundo puede encontrarse en uno de estos dos estados $s = 1,2$ con probabilidades $\pi_s = 1/2$ para cada estado. Los dos consumidores están de acuerdo con las probabilidades.

Cada consumidor como una función de utilidad de aversión al riesgo relativo constante con índice de utilidad $u^{i}(c_{s}^{i}) = \frac{(c^{i}_{s})^{1-\gamma^i}-1}{1-\gamma^i}$ , $i = A,B$ . En concreto, suponemos que $\gamma^{A} > 0$ y $\gamma^{B} = 0$ .

Además del bien de consumo hay $J=2$ valores financieros con periodo $1$ pagos $D$ (a $J\times S$ ) dada por $$D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -1 & 4\\ \end{pmatrix}$$ Así, la primera seguridad se paga $1$ en ambos estados y la segunda seguridad se paga $-1$ en el estado $1$ y $4$ en el estado $2$ . Existe un mercado al contado para estos valores en periodo $0$ a los precios $p_j > 0$ . Cada valor tiene una oferta neta nula, de modo que si un consumidor es comprador, el otro consumidor debe ser el vendedor. No hay restricciones de venta al descubierto en los valores.

Los consumidores no tienen una dotación de período cero y no consumen en el primer período, por lo que $e_0^{i} = c_{0}^{i} = 0$ , $i = A,B$ .

Los consumidores no pueden vender al descubierto el bien de consumo. Es decir, imponemos la restricción de que $c_{s}^{i}\geq 0$ , $\forall i = A,B$ y $s = 1,2$ . En esta economía no hay producción, por lo que cada agente está dotado exógenamente de un período $1$ dotaciones de: $e^{A} = (6,2)$ y $e^{B} = (6,6)$ en los estados $s = 1$ y $2$ para cada agente, respectivamente.

a.) Escriba cuidadosamente el problema de maximización del segundo consumidor incluyendo las restricciones presupuestarias pertinentes. Sea $\lambda_{s}^{B}$ sean los multiplicadores de Lagrange de las restricciones presupuestarias. Escriba cuidadosamente las condiciones de primer orden para este consumidor, incluyendo las condiciones de desigualdad y de holgura complementaria.

b.) Resuelva la curva de contrato para esta economía.

c.) Compruebe que los precios de los valores de Arrow para esta economía son $q_1 = q_2$ y que la asignación óptima de bienes es $c^{A} = (4,4)$ y $c^{B} = (8,4)$ .

d.) Encontrar las carteras de seguridad de los consumidores $\theta^{A}$ y $\theta^{B}$ .

e.) Normalizar los precios de los valores de Arrow para que $q_1 = q_2$ y encontrar los precios de los valores $p_1$ y $p_2$ .

Solución a.) El problema de maximización de la utilidad para $B$ es \begin{align*} \max_{c^{B},\theta}\mathbb{E}\left[u(c^{B})\right] = \frac{1}{2}(c_1^{B} - 1) + \frac{1}{2}(c_2^{B} - 1) \ \ \text{s.t.} \ \ &p_1\theta_{1}^{B} + p_2\theta_{2}^{B} = 0, s = 0\\ &c_1^{B}\leq 6 + \theta_{1}^{B} - \theta_{2}^{B}, s = 1\\ &c_{2}^{B}\leq 6 + \theta_{1}^{B} + 4\theta_{2}^{B}, s =2; c_1^{B}\geq 0, c_2^{B}\geq 0 \end{align*} Tenemos el Lagrangiano, $$\mathcal{L}(c^{B},\theta^{B},\lambda^{B}) = \frac{1}{2}(c_1^{B} - 1) + \frac{1}{2}(c_2^{B} - 1) + \lambda_{0}^{B}(0- p_1 \theta_1^{B} - p_2 \theta_2^{B}) + \lambda_{1}^{B}(6 + \theta_1^{B} - \theta_2^{B} - c_1^{B}) + \lambda_2^{B}(6 + \theta_{1}^{B} + 4\theta_2^{B} - c_2^{B})$$ Las condiciones de primer orden son: \begin{align*} &\lambda_{0}^{B}: p_1\theta_1^{B} + p_2 \theta_{2}^{B} = 0; \lambda_{0}^{B}\geq 0\\ &\lambda_1^{B}: c_1^{B}\leq 6 + \theta_1^{B} - \theta_2^{B};\lambda_1^{B}\geq 0, \lambda_1^{B}(6+\theta_1^{B} - \theta_2^{B} - c_1^{B}) = 0\\ &\lambda_2^{B}: c_2{B} \leq 6+\theta_{1}^{B} + 4\theta_2^{B}, \lambda_2^{B}\geq 0, \lambda_2^{B}(6+\theta_{1}^{B} + 4\theta_2^{B} - c_2^{B}) = 0\\ &c_1^{B}: \frac{1}{2}-\lambda_1^{B}\leq 0; c_1^{B}\geq 0, c_1^{B}\left(\frac{1}{2} - \lambda_{1}^{B}\right) = 0\\ &c_2^{B}: \frac{1}{2}-\lambda_2^{B}\leq 0; c_2^{B}\geq 0, c_2^{B}\left(\frac{1}{2} - \lambda_{2}^{B}\right) = 0\\ &\theta_1^{B}: - \lambda_0^{B}p_1 + \lambda_1^{B} + \lambda_2^{B} = 0\\ &\theta_2^{B}: - \lambda_0^{B}p_2 - \lambda_1^{B} + 4\lambda_2^{B} = 0 \end{align*}

Solución b.) Tenemos $$c_1^{A} + c_2^{B} = 12 \ \ \text{and} \ \ c_2^{A} + c_2^{B} = 8$$ Queremos encontrar el conjunto de puntos óptimos de pareto (curva de contacto). Buscamos $$MRS^{A} = MRS^{B}$$ Tenga en cuenta que $u^{i} = \pi_1 u(c_1^{i}) + \pi_2 u(c_2^{i})$ Así, $$MRS^{i} = \frac{\pi_1 u^{i \prime}(c_1^{i})}{\pi_2 u^{i\prime}(c_2^{i})}$$ $$MRS^{A} = \left(\frac{c_1^{A}}{c_2^{A}}\right)^{-\gamma_A} = 1 = MRS^{B}$$ $c_1^{A} = c_2^{A}$ es la ecuación de la curva del contrato.

Intento de solución c.) Aquí es donde estoy atascado, sé que tenemos que resolver el problema del Planificador: $$\mathcal{L} = \sum_{i=A,B} \eta^{i}u^{i}(c_1^{i}) + \lambda_1\left(\sum_{i}e_1^{i} - \sum_{i}c_1^{i}\right) + \lambda_2\left(\sum_{i}e_2^{i} - \sum_{i}c_2^{i}\right)$$ pero no estoy seguro de cómo seguir adelante. Cualquier sugerencia sería muy apreciada. Es la primera vez que resuelvo un problema de planificación y soy estudiante de posgrado de Matemáticas, por lo que no tengo mucha experiencia en economía.

Answer 1

Después de muchos correos electrónicos, mi profesor concedió a publicar una solución a este problema, lo curioso es que no utiliza el confuso $\mathcal{L}$ ecuación que escribió previamente en clase.

Solución c.) Tenemos el problema del Planificador $$\max_{c^{A},c^{B}}\{\mathbb{E}[u^{A}(c^{A})] + \eta \mathbb{E}[u^{B}(c^{B})]$$ de manera que las limitaciones de recursos \begin{align*} c_1^{A} + c_1^{B} &= e_1^{A}+e_1^{B} = 12\\ c_2^{A} + c_2^{B} &= e_2^{A} + e_2^{B} = 8 \end{align*} $\eta$ son los pesos de Negishi, de los que nos ocuparemos más adelante. Así que tenemos, $$\max_{c_1^{A},c_2^{A}}\{\left[ \frac{1}{2}\frac{(c_1^{A})^{1- \gamma^{A} -1}}{1 - \gamma^{A}} + \frac{1}{2}\frac{(c_2^{A})^{1 - \gamma^A}-1}{1-\gamma^{A}}\right] + \eta\left[\frac{1}{2}((12-c_1^{A})-1) + \frac{1}{2}((8- c_2^{A}) - 1)\right]\}$$ Tenemos el FOC: \begin{align*} &c_1^{A}: \frac{1}{2}(1 - \gamma^{A})(c_1^{A})^{-\gamma^{A}} - \frac{1}{2}\eta = 0\\ &c_2^{A}: \frac{1}{2}(1 - \gamma^{A})(c_2^{A})^{-\gamma^{A}} - \frac{1}{2}\eta = 0\\ \end{align*} Vemos que $c_1^{A} = c_2^{A}$ . Para resolver el problema de $\eta$ la solución debe satisfacer también la "restricción presupuestaria de vida" de cada agente. Como sólo hay $2$ agentes, es suficiente para resolver el problema para sólo $1$ agente: $$\Rightarrow \sum_{s=1}^{2}u^{i\prime}(c_s^{i})c_s^{i} = \sum_{s}u^{i\prime}(c_{s}^{i})e_{s}^{i} , \ i = A , B$$ La primera suma es el valor marginal del consumo y la segunda el valor marginal de las dotaciones. Las restricciones presupuestarias de por vida implican para $A: u^{A\prime}(c_1^{A})c_1^{A} + u^{A\prime}(c_2^{A}) = u^{\prime}(c_1^{A})e_1^{A} + u^{\prime}(c_2^{A})e_2^{A}$ pero como $c_1^{A} = c_2^{A}$ , $u^{A\prime}(c_1^{A}) = u^{A\prime}(c_2^{A})$ . Así que obtenemos $$c_1^{A} + c_2^{A} = e_1^{A} + e_2^{A} = 8 \Rightarrow c_1^{A} = c_2^{A} = 4 \Rightarrow c_1^{B} = 12 - c_1^{A} = 8 \ \text{and} \ c_2^{B} = 8 - c_1^{A} = 4$$ Obsérvese que a partir de los BDC, tenemos $$\eta = (1-\gamma^{A})(c_1^{A})^{-\gamma^{A}})$$ Así que si especificamos $\gamma^{A}$ podríamos resolver el valor específico de $\eta$ . En nuestro ejemplo no necesitamos hacer esto ya que $\gamma^{B} = 0$ es un caso degenerado.

Solución d.) A partir de los FOC de la parte (a) tenemos \begin{align*} 6 + \theta_1^{B} - \theta_2^{B} &= c_1^{B} = 8\\ 6 + \theta_1^{B} + 4\theta_2^{B} = c_2^{B} = 4 \end{align*} Así, tenemos $\theta_1^{B} = 6/5$ y $\theta_2^{B} = -4/5$ . Desde $\theta_{s}^{A} + \theta_{s}^{B} = 0$ , $s= 1,2$ (oferta neta cero) Obtenemos $$\theta_1^{A} = -6/5 \ \text{and} \ \theta_2^{A} = -4/5$$

Solución e.) Sabemos que $$p = Dq \Rightarrow \begin{pmatrix} p_1\\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q_1\\ q_2 \end{pmatrix}$$ Entonces \begin{align*} p_1 &= q_1 + q_2\\ p_2 &= -q_1 + 4q_2 \end{align*} Sabemos que $q_1 = q_2$ pero no conocemos la suma porque en este modelo no había consumo del período cero a partir del cual se fijaba el precio del bono. Elijamos $q_1 + q_2 = 1$ entonces $q_1 = q_2 = 1/2$ así que $p_1 = 1$ y $p_2 = 3/2$ .