Un problema de maximización con múltiples bienes y mercados integrados

Question

Actualización: Intentaré aclarar la pregunta: Digamos que la cosecha total de la población de peces en el momento t es $H_t$ . Cada cosecha produce tres tipos de pescado: el salmón ( $f_1$ ), que es valioso y se vende como filete en los mercados de salmón S ; Pike ( $f_2$ ), que es menos valioso y se vende a los mercados de sopa de pescado P y la cucaracha ( $f_3$ ), que se utiliza exclusivamente para las barritas de pescado y se vende en los mercados R . Los precios son endógenos y se derivan de las funciones de utilidad S , P , R que son estrictamente cóncavos y tienen una utilidad marginal decreciente.

Si todo el pescado pudiera venderse en cualquier mercado posible, las restricciones del problema de maximización serían:

Cosechas totales en el momento t : $H_t=\sum_{i=1}^n v_{it}-\sum_{i=1}^n v_{i,t+1} $ , (1)

pescado a los mercados en el momento t $H_t=\sum_{i=1}^n f_{it}$ , (2)

Dónde $v_{it} $ es la cantidad de pescado $i$ en el lago en el momento $t$ .

Ahora, si es óptimo, debería ser posible vender salmón a los mercados de sopa y salmón y lucio a los mercados de palitos de pescado: $S(f_1)$ , $P(f_1, f_2)$ y $R(f_1,f_2,f_3)$ . No se puede vender otro pescado que no sea salmón en los mercados de filetes, y las cucarachas no se pueden vender en los mercados de sopa.

Ahora la cuestión es: la restricción (2) es bonita y se puede ver fácilmente que el problema de maximización es cóncavo. Sin embargo, permitiría que cualquier pez entrara en cualquier mercado. Si utilizo $S(f_1)$ , $P(f_1, f_2)$ y $R(f_1,f_2,f_3)$ y (2), sería óptimo vender todo $f_1$ en $S$ , todos $f_1, f_2$ en $P$ y nada en $R$ De ahí la doble contabilidad. Me cuesta encontrar una restricción que satisfaga claramente el argumento de que el pescado que se ha vendido en algún mercado no puede entrar en ningún otro. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que hay un problema de enfoque en la restricción. (1) implica que:

\begin{align} v_{n,t} - v_{n,t+1}=H_t - (\sum_{i=1}^{n-1} v_{it}-\sum_{i=1}^{n-1} v_{i,t+1}) \end{align}

A medida que el número de peces capturados que no son el $ n $ especies aumenta, el número de peces que pertenecen a la $ n $ especies disminuye. Esto, entiendo, puede surgir de una decisión de producción: la empresa 1 decide producir más peces de especies no $ n $ y reduce su producción de pescado tipo $ n $ . Pero ¿qué fuerza exógena puede crear este fenómeno? tendría sentido si son especies que compiten por los mismos recursos en un espacio limitado, pero esto afectaría a poblaciones futuras no actuales, y habría que ver si es razonable que el efecto tenga una forma lineal, es más probable que afecte según una función logística. La otra opción es que una especie sea depredadora de otra, pero en este caso parece que no lo es.

Sugiero que se asuma directamente que no hay lucha de recursos entre especies o que se elija una función diferente que determine la lucha de recursos entre los peces. Si decides que no hay lucha entre especies, puedes separar la dinámica poblacional de cada especie y podrías elegir una función como ésta:

\begin{align} P_{i,t} = P(v_{i,t} - v_{i,t+1},K) \\ \frac{\partial P_{t}}{\delta t}=\delta P_{ t}[1-\frac{P_{t,i}}{K}] - (v_{i,t} - v_{i,t+1}) \end{align}

La ecuación diferencial $ \delta P_ {t} [1- \frac {P_ {t}}{K}] $ se basa en estudios en biología sobre la dinámica de la población de peces, puedes ver un modelo sencillo en este enlace https://scholar.harvard.edu/stavins/publications/problem-commons-still-unsettled-after-100-years . $ P_{i, t} $ es la población de la especie $ i $ en el periodo $ t $ y $ K $ es la "capacidad de carga", es decir, el nivel máximo de población de peces que puede existir. Sólo habría que adaptar esa ecuación diferencial al caso discreto.

En cuanto a la segunda restricción, ¿por qué hacer que la cantidad producida de una especie de pescado disminuya al aumentar otra? Esto es algo que surge endógenamente como decisión del productor: es óptimo para la empresa 1 producir más pescado del tipo 1 y menos del tipo 2. Esta segunda restricción no es necesaria, creo. Se puede utilizar una función de producción como ésta:

\begin{align} f_{m}=f(v_{i}-v_{i,t+1},v_{-i}-v_{-i,t+1} ) \ \forall \ m \in M \end{align}

Cada empresa elige endógenamente qué peces producir. Está claro que con esta función objetivo, las empresas que no puedan vender algún tipo de pescado simplemente no venderán ese pescado. Además, se pueden analizar fenómenos interesantes como la presencia de economías de alcance o simplemente elegir una función más sencilla para encontrar el equilibrio a largo plazo. Creo que estas observaciones resolverían el problema que tienes.