Supongamos un bono sin riesgo $B_t$ y las acciones St siguen la dinámica del modelo de Black & Scholes. (con el tipo de interés r, la deriva de las acciones $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ ). Encuentre $\beta$ de manera que el proceso $e^{-\beta t}S_{t}^3$ es una martingala bajo la medida de riesgo neutral Q. ¿Cómo debo utilizar la martingala en la función para encontrar el valor de $\beta$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En $\mathbb{Q}$ , dejemos que $\mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}B_t$ . Definir la función $f(t,x)=e^{-\beta t}x^3$ con derivadas parciales $f_t(t,x)=-\beta f(t,x)$ , $f_x(t,x)=3e^{-\beta t}x^2$ y $f_{xx}(t,x)=6e^{-\beta t}x$ .
Le interesa el proceso $X_t=f(t,S_t)=e^{-\beta t}S_t^3$ . Por Lemma de Ito , \begin{align*} \mathrm{d}f(t,S_t) &= \left( f_t(t,S_t) +rS_tf_x(t,S_t)+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 f_{xx}(t,S_t) \right)\mathrm{d}t+ \bigg( \sigma S_t f_x(t,S_t) \bigg)\mathrm{d}B_t \\ &= \left(-\beta f(t,S_t) + 3rf(t,S_t)+\frac{1}{2}\sigma^26f(t,S_t) \right)\mathrm{d}t + \bigg(\sigma 3f(t,S_t)\bigg)\mathrm{d}B_t \\ &= \left( -\beta+3r+3\sigma^2 \right)f(t,S_t)\mathrm{d}t+3\sigma f(t,S_t)\mathrm{d}B_t. \end{align*} Esto demuestra, en primer lugar, que $f(t,S_t)$ es de nuevo un movimiento browniano geométrico. En general, cualquier potencia de un GBM vuelve a ser un GBM. Por último, para $f(t,S_t)$ para ser una martingala, necesita tener una deriva cero (es decir, no $\mathrm{d}t$ término). (Recordemos que la integral de Ito simple $\mathrm{d}B_t$ ya es una martingala y añadir una tendencia temporal determinista violaría la condición de martingala).
Por lo tanto, es necesario establecer $$\beta=3(r+\sigma^2).$$
Se puede incluir fácilmente la rentabilidad de los dividendos sustituyendo $r$ con $r-q$ .
