¿Por qué y cuándo deberíamos usar la variable de registro?

Question

Normalmente, veo que los documentos financieros utilizan los ratios reales pero registran los variables que no son ratios en forma logarítmica. Por ejemplo, algunos documentos utilizan log(activos) o log(1+edad de la empresa) o log del PIB, pero en cuanto a los ratios, utilizan el valor actual. Me pregunto por qué y cuándo deberíamos usar el logaritmo con una variable. Me pregunto si esto está relacionado con los errores estándar.

Answer 1

Basándome en su documento y en las variables, supongo que pregunta por el uso en modelos econométricos. Hay algunas reglas generales para la toma de registros (no hay que darlas por supuestas). Véase, por ejemplo Wooldrigde: Introductory Econometrics P. 46 .

• Cuando una variable es una cantidad positiva en $, se suele tomar el logaritmo (salarios, ventas de la empresa, valor de mercado...)
• Lo mismo ocurre con variables como la población, el número de empleados, las inscripciones escolares, etc. (¿Por qué? - véase más adelante).
• Las variables medidas en años (educación, experiencia, permanencia, edad, etc.) no suelen transformarse (en su forma original).
• Los porcentajes (o proporciones) como las tasas de desempleo, las tasas de participación, el porcentaje de estudiantes que aprueban los exámenes, etc., se ven de cualquier manera, con tendencia a utilizarse en forma de nivel. Si se toma un coeficiente de regresión que incluya la variable original (no importa si es una variable independiente o dependiente), se tendrá una interpretación del cambio en puntos porcentuales. La siguiente tabla resume lo que ocurre en las regresiones debido a diversas transformaciones:

Ahora bien, aparte de la interpretación de los coeficientes en las regresiones (que ya es útil de por sí), el logaritmo tiene varias propiedades interesantes. Lo hice hace unos años, simplemente copiando y pegando aquí (por favor, disculpen que no cambie el formato y haga los gráficos más bonitos, etc.).

¿Por qué el logaritmo natural es una opción tan natural?

Gilbert Strang: Tasas de crecimiento y gráficos logarítmicos complementa lo que sigue a continuación, por lo que vale la pena verlo.
Lista de identidades logarítmicas y Por qué las devoluciones de los registros también es bueno.

Hay 6 razones principales por las que utilizamos el logaritmo natural:

1. La diferencia logarítmica se aproxima al cambio porcentual
2. La diferencia logarítmica es independiente de la dirección del cambio
3. Escalas logarítmicas
4. Simetría
5. Es más probable que los datos se distribuyan normalmente
6. Es más probable que los datos sean homocedásticos

Razón 1: La diferencia logarítmica se aproxima al cambio porcentual

¿Por qué? Bueno, hay varias maneras de demostrarlo:

• A continuación se presenta uno de ellos
• Otras explicaciones utilizando la serie de Taylor y la serie de Maclaurin

Si tienes dos valores:

x = valor Antiguo (digamos 1,0) y = valor Nuevo (digamos 1,01)

Propiedad 1: Un simple cálculo porcentual muestra que es el 1%.

$$\frac{New - Old}{Old} = \frac{New}{Old} - 1 = \frac{1.01}{1.0} -1 = 0.01$$

Sugerencia : No se trata de un error informático en el cálculo del porcentaje exacto:
Documentos de Python
Redondeo en Python
¿Está rota la matemática de punto flotante?

Pero, ¿cómo funciona la aproximación logarítmica?

Propiedad 2 Khan Academy Propiedades logarítmicas $$ln(uv)=ln(u)ln(v)$$

Esto permite simplificar en gran medida ciertas expresiones.

Propiedad 3: $$ ln (1 + x) \approx x $$

Ahora combinando las propiedades establecidas podemos reescribir

$$ x = \frac{New - Old}{Old} = \frac{New}{Old} - 1 $$

utilizando:

$$ ln (1 + x) \approx x $$

da:

$$ ln \Bigg(1 + \frac{New}{Old} - 1\Bigg) = ln \Bigg(\frac{New}{Old}\Bigg) \approx \frac{New - Old}{Old}$$

que utilizando las propiedades de los troncos $$ln \Bigg(\frac{u }{ v}\Bigg) = ln (u) - ln (v) $$

puede reescribirse como

$$ ln (New) - ln (Old) \approx \frac{New - Old}{Old}$$

Razón 2: La diferencia logarítmica es independiente de la dirección del cambio

Otro punto que vale la pena señalar es que de 1,1 a 1 es una disminución de casi el 9,1%, de 1 a 1,1 es un aumento del 10%, la diferencia logarítmica 0,953 es independiente de la dirección del cambio, y siempre está entre 9,1 y 10. Además, si se invierten los valores de las diferencias logarítmicas, lo único que cambia es el signo, pero no el valor en sí.

Razón 3: Escalas logarítmicas

Una variable que crece a una tasa de crecimiento constante aumenta en incrementos cada vez mayores a lo largo del tiempo. Tomemos una variable x que crece a lo largo del tiempo a una tasa de crecimiento constante, digamos que al 3% anual:

Ahora bien, si lo representamos contra el tiempo utilizando una escala vertical estándar (lineal), el gráfico parece exponencial. El aumento de se hace cada vez más grande con el tiempo. Otra forma de representar la evolución de es utilizar una escala logarítmica para medir en el eje vertical. La propiedad de la escala logarítmica es que el mismo aumento proporcional de esta variable está representado por la misma distancia vertical en la escala. Como la tasa de crecimiento es constante en este ejemplo, se convierte en una línea lineal perfecta.

Esto muestra el efecto de las escalas logarítmicas muy bien en los ejes verticales.
La razón es que las distancias entre 0,1 y 1, 1 y 10, 10 y 100, etc., son iguales en la escala logarítmica.
Razón 4: La simetría lo explica con más detalle.

A diferencia de estos ejemplos, las variables económicas como el PIB no crecen a un ritmo constante cada año.

• Su tasa de crecimiento puede ser mayor en algunas décadas y menor en otras.
• Sin embargo, al observar su evolución en el tiempo, suele ser más informativo utilizar una escala logarítmica que una escala lineal.
• Por ejemplo, el PIB es varias veces mayor ahora que hace 100 años. La curva es cada vez más pronunciada y es muy difícil ver si la economía crece más rápido o más lento que hace 50 o 100 años.

Razón 4: Simetría

Una transformación logarítmica reduce la asimetría positiva porque comprime el extremo superior (la cola) de la distribución y alarga el extremo inferior. La razón es que las distancias entre 0,1 y 1, 1 y 10, 10 y 100, y 100 y 1000 son iguales en la escala logarítmica. Esto también se puede ver en el gráfico pyplot de arriba.

Esto tiene otra implicación importante:

• Si se aplica cualquier transformación logarítmica a un conjunto de datos, la media (promedio) de los logaritmos es aproximadamente igual al logaritmo de la media original, sea cual sea el tipo de logaritmos que se utilice.
• Sin embargo, sólo en el caso de los logaritmos naturales, la medida de dispersión denominada desviación estándar (DE) es aproximadamente igual al coeficiente de variación (la relación entre la DE y la media) en la escala original.

Razón 5: Es más probable que los datos se distribuyan normalmente Empecemos con una distribución log-normal

Una variable x tiene un distribución logarítmica normal si $log(x)$ se distribuye normalmente. Una distribución logarítmica normal resulta si una variable aleatoria es el producto de un gran número de variables independientes e idénticamente distribuidas. Esto se demostrará a continuación.
Esto es similar al distribución normal que resulta si la variable es la suma de un gran número de variables independientes e idénticamente distribuidas.

Distribución Log-Normal :

$\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar del logaritmo de la variable distribuido normalmente.

Prueba de normalidad de Shapiro-Wilk

Si el Valor p $\leq 0.05$ entonces se rechazaría la hipótesis NULA de que las muestras provienen de una distribución Normal. En pocas palabras, hay una rara posibilidad de que las muestras provengan de una distribución normal.

Uso del módulo de estadísticas de SciPy
En el siguiente apartado se demuestra que si se toman los productos de las muestras aleatorias de una distribución uniforme se obtiene una función de densidad de probabilidad log-normal.

Definición de

$${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {m}{\sqrt {1+{\frac {v}{m^{2}}}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {v}{m^{2}}}\right).} $$

La función de densidad de probabilidad para la distribución log-normal es:

$$ p(x) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}}\ \cdotp \ e^{\bigl(-\frac{(ln(x) \ - \ \mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)} $$

donde $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación estándar del logaritmo de la variable distribuida normalmente, que acabamos de calcular anteriormente. Dada la fórmula, podemos calcular y trazar fácilmente la PDF.

Razón 6: Lo más probable es que los datos sean homocedásticos. A menudo, se observa que las mediciones varían porcentualmente, por ejemplo, en un 10%. En tal caso:

• algo con un valor típico de 80 podría saltar dentro de un rango de $\pm 8$ mientras que
• algo con un valor típico de 150 podría saltar dentro de un rango de $\pm 15$ .

Aunque no sea en un porcentaje exacto, a menudo los grupos que tienden a tener valores más grandes también tienden a tener una mayor variabilidad dentro del grupo. Una transformación logarítmica suele hacer que la variabilidad dentro del grupo sea más similar entre los grupos. Si la medida varía en base al porcentaje, la variabilidad será constante en la escala logarítmica. Compruebe esta referencia para más información.

Empecemos por generar una distribución condicional de $y$ dado $x$ con una varianza $f(x)$ .

En pocas palabras, necesitamos algo en lo que la variabilidad de la fecha aumente cuando $x$ aumenta.

Answer 2

Cito del fantástico libro de Bali, Engle y Murray (2016): Precios de activos empíricos: La sección transversal de los rendimientos de las acciones.

En lo que sigue, hablan sobre la fijación de precios del tamaño en el mercado de valores (piense en la capitalización de mercado = precio por acciones en circulación). En las regresiones, a menudo encuentras investigadores que utilizan el logaritmo de la capitalización de mercado. Aquí, los autores explican por qué:

Hay un problema con la medida que puede tener un impacto sustancial en los análisis empíricos. Como se verá pronto en la Tabla 9.1, la distribución transversal de la capitalización de mercado es muy altamente sesgada. Este fenómeno surge porque hay un pequeño número de acciones cuya capitalización de mercado es muy grande. La presencia de estas acciones grandes puede perjudicar la capacidad de los análisis de regresión u otros análisis que se basan en la magnitud de la medida (en lugar de solo el orden, como en análisis de cartera) para producir estimaciones de parámetros precisas. Por esta razón, los investigadores frecuentemente utilizan el logaritmo natural de la capitalización de mercado.

Aquí hay una parte de la Tabla 9.1

Como puedes ver, la capitalización de mercado está muy sesgada y tiene un kurtosis enorme (colas gordas). Esto se debe a algunos valores atípicos con una gran capitalización de mercado (empresas como Apple sesgan toda la distribución). Tomar el logaritmo estandariza la variable en cierta medida.

Ejemplo numérico: Imagina una empresa con una pequeña capitalización de mercado de solo dos millones de USD. Su tamaño logarítmico es entonces $\ln(2\cdot10^6)\approx14.5$. Apple tiene una capitalización de mercado de aproximadamente dos billones de USD y un tamaño logarítmico de $\ln(2\cdot10^{12})=28.3$. Por lo tanto, aunque Apple es un millón de veces más grande que nuestra empresa artificial, su tamaño logarítmico es solo el doble. Tomar logaritmos reduce drásticamente la diferencia entre el tamaño de ambas empresas.

Nota: Un efecto secundario común es que las variables registradas se vuelven estadísticamente más significativas. Así que tenlo en cuenta cuando leas documentos :)

Answer 3

Generalmente, modelamos muchas cantidades en finanzas como variables que crecen de forma exponencial, como el precio de las acciones en el Modelo de Black Scholes o el PIB, porque estas cantidades crecen de forma continua cada año. Además, los seres humanos nos sentimos más cómodos con las relaciones lineales, por lo que al estudiar el crecimiento del PIB o los rendimientos de las acciones, es natural usar logaritmos para obtener modelos lineales. Se amplía más con algunos puntos adicionales aquí.