tldr Si $\mathbb{E}[\varepsilon_{i,t}|X_{i,t-1}, Y_{i,t-1}] = 0$ entonces el coeficiente $\beta_2$ es igual a: $$ \frac{\partial \mathbb{E}[\ln Y_{i,t}|X_{i,t-1}= x_{i,t-1}, Y_{i,t-1} = y_{i,t-1}]}{\partial \ln x_{i,t-1}} $$ Si $\varepsilon_{i,t}$ es independiente de $X_{i,t-1}$ y $Y_{i,t-1}$ (que es una condición más fuerte) entonces también es igual a: $$ \frac{\partial \ln \mathbb{E}[Y_{i,t}|X_{i,t-1}= x_{i,t-1}, Y_{i,t-1} = y_{i,t-1}]}{\partial \ln x_{i,t-1}} $$ En ambos casos, ofrecen una estimación de la elasticidad del empleo con respecto a la productividad de ayer (condicionada al empleo de ayer), es decir, cuál es el cambio (esperado) de un punto porcentual en el empleo (hoy) debido a un aumento de 1 porcentaje en la productividad (ayer) dado el nivel de empleo de ayer.
estimación de las elasticidades
Si $$ \ln y = \alpha + \beta \ln x, $$ Entonces el $x$ -elasticidad de $y$ está dada por: $$ \frac{\partial \ln y}{\partial \ln x} = \beta. $$ Mide la variación porcentual de $y$ debido a un aumento del 1% en $x$ .
Ahora pasemos al marco estocástico: $$ \ln Y = \alpha + \beta \ln X + \varepsilon $$ Y asumir, como siempre, que $\mathbb{E}[\varepsilon] = 0$ .
La elasticidad de $Y$ con respecto a $X$ no se define realmente como $Y$ no es una función de $X$ (es decir, ambas son variables aleatorias).
Hay dos generalizaciones naturales de la elasticidad en este entorno:
- $\dfrac{\partial \ln \mathbb{E}[Y|X = x]}{\partial \ln x}$ que es la elasticidad de la función media condicional $\mathbb{E}[Y|X = x]$ .
- $\dfrac{\partial \mathbb{E}[\ln Y|X = x]}{\partial \ln x}$ que es la derivada de la función media condicional $\mathbb{E}[\ln Y|X = x]$ .
Como el logaritmo es una transformación no lineal, los dos no son necesariamente iguales.
Sin embargo, si $X$ y $\varepsilon$ son independientes entonces son idénticos e iguales a $\beta$ . Para ver esto, observe que para 1. $$ Y = e^\alpha X^\beta e^\varepsilon $$ Entonces, tomando las expectativas condicionales y utilizando la independencia entre $\varepsilon$ y $X$ : $$ \mathbb{E}[Y|X = x] = e^\alpha x^\beta \mathbb{E}[e^\varepsilon|X = x] = e^\alpha X^\beta \mathbb{E}[e^\varepsilon],\\ \to \ln \mathbb{E}[Y|X = x] = \alpha + \beta \ln x + \ln \mathbb{E}[e^\varepsilon]. $$ Tomando la derivada parcial con respecto a $\ln(x)$ da: $$ \frac{\partial \ln \mathbb{E}[Y|X = x]}{\partial \ln x} = \beta. $$
Para 2. tenemos inmediatamente: $$ \mathbb{E}[\ln Y|X = x] = \alpha + \beta \ln x + \mathbb{E}[\varepsilon|X = x] = \alpha + \beta \ln x. $$ Así que: $$ \frac{\partial E[\ln Y|X = x]}{\partial \ln x} = \beta. $$
Si sólo $\mathbb{E}[\varepsilon|X] = 0$ pero $X$ y $\varepsilon$ no son independientes, entonces sólo la derivación de 2 es válida y 1 y 2 no son necesariamente iguales.
Si se quiere estimar la elasticidad de la tasa de crecimiento, entonces la regresión correcta es efectivamente: $$ \ln(Y_{i,t}/Y_{i,t-1}) = \beta_0 + \beta_1 \ln X_{i,t} + \varepsilon_{i,t}. $$
