Valoración de opciones, origen de la fórmula $\Pi( t,X)= E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_{t}^{T}r_s\,ds} X| \mathcal{F}_t\right]$

Question

Imaginemos un modelo con los precios de las acciones y los dividendos de las mismas, así como un bono de mercado con un proceso de tipo corto asociado. Se sabe que este modelo está libre de arbitraje si existe una medida martingala equivalente $Q$ .

Se afirma entonces que el precio de una opción de compra en el momento $t$ es la expectativa condicional descontada bajo la medida martingala equivalente $Q$ de su pago.

Pregunta: ¿Por qué es esto cierto? La forma en que lo pienso es que si imaginamos que la opción de compra es una acción nueva que introducimos en el mercado, entonces podemos considerarla como una acción sin dividendos hasta la fecha de vencimiento, donde el dividendo final es entonces su pago. Si imaginamos que "añadimos" esta acción a nuestro modelo, entonces quedaría libre de arbitraje si y sólo si esta "nueva acción" tuviera un precio tal que $Q$ sigue siendo una medida martingala equivalente, y esto significa precisamente que el precio de la opción de compra en el momento $t$ debe darse como esa expectativa condicional (descontada).

¿Es correcto este razonamiento?

Answer 1

Sólo es cierto si la afirmación puede replicarse mediante la cobertura dinámica con los activos negociables. Así que cualquier prueba debería referirse a esa propiedad.

Mi prueba sería:

1. Existe una cartera dinámica que replica el siniestro, es decir, que se autofinancia, es previsible y tiene un valor terminal igual al valor de la opción de compra

2. El valor de cualquier cartera, con cualquier estrategia de negociación que no implique asomarse al futuro, es una martingala (descontada) bajo Q

3. El valor actual de la cartera dinámica es el valor esperado del valor final, que es el valor esperado del pago de la llamada bajo la medida martingala

4. El valor teórico de la opción de compra es el coste de establecer una cobertura perfecta, que es el valor inicial de la cartera de réplica

Answer 2

En general, consideramos esta cuestión para cada $T$ -reclamo contingente $\Pi(t,X)$ . Sin embargo, hay dos enfoques principales en este contexto. Como ha mencionado, para el primer enfoque deberíamos exigir que el mercado ampliado $\Pi(.,X)\,,\,S_0\,,S_1,...,S_N$ está libre de posibilidades de arbitraje. En efecto, exigimos que exista una medida de martingala $Q$ para el mercado ampliado. Aplicando la definición de medida de martingala obtenemos $$\frac{\Pi(t,X)}{S_0(t)}=E^{\mathbb{Q}}\left[\frac{\Pi(T,X)}{S_0(T)}|\,\mathcal{F}_t\right]$$ En particular, suponemos que $S_0(t)$ es la cuenta de dinero: $$S_0(t)=S_0(0)=\exp\left(\int_{t}^{T}r_sds\right)$$ Para el segundo enfoque, si la demanda es alcanzable, con la cartera de cobertura $h$ entonces el único precio razonable viene dado por $\Pi(t,X) = V (t, h)$ .