Ofertas aleatorias óptimas

Question

Esta pregunta proviene de este sitio web que consulto a menudo.

Dos jugadores van a un nuevo programa de juegos llamado "El número más alto gana". Los dos entran en cabinas separadas, y cada uno pulsa un botón, y un número al azar entre el cero y el uno aparece en una pantalla. (En este momento, ninguno de los dos conoce el número del otro, pero sí saben que los números se eligen a partir de una distribución uniforme estándar). Pueden elegir entre quedarse con ese primer número o volver a pulsar el botón para descartar el primer número y obtener un segundo número aleatorio, que deben conservar. A continuación, salen de sus cabinas y ven el número final de cada jugador en la pared. El fastuoso gran premio -un maletín lleno de lingotes de oro- se otorga al jugador que haya conservado el número más alto. ¿Qué número es el límite óptimo para que los jugadores descarten su primer número y elijan otro? Dicho de otro modo, ¿dentro de qué rango deberían elegir quedarse con el primer número, y dentro de qué rango deberían rechazarlo y probar suerte con un segundo número?

Este es un problema de subasta muy extraño con jugadores simétricos (también asumo que los jugadores son neutrales al riesgo) o un juego de lotería/teoría del juego muy extraño.

¿Cómo enfocarías esta pregunta matemáticamente hablando y qué respuesta obtienes para ella? No hay premio para yo obtener la respuesta correcta al acertijo del sitio, sólo tengo curiosidad. Mi intuición me dice que el límite óptimo es 0,5, ya que tienes un 50-50 de posibilidades de ser mayor o menor que el número de tu oponente, independientemente de si él/ella repite su número al azar o no, pero no estoy seguro.

Answer 1

En primer lugar, me limitaré a mostrar que el 0,5 (o $\frac{1}{2}$ ) no funciona como un equilibrio simétrico, entonces puedes decidir por ti mismo si quieres pensar en el problema o leer la respuesta completa.

Denotemos los puntos de corte por $c_x,c_y$ . Supongamos que ambos jugadores utilizan la estrategia $c = \frac{1}{2}$ . Denotemos los números del jugador $x$ y $y$ respectivamente por $x_1$ y $y_1$ y su potencial segundo número por $x_2$ y $y_2$ . Supongamos que $x_1 = \frac{2}{3}$ . Manteniendo esto la probabilidad de que el jugador $x$ gana es $$ P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}. $$ Esto también significa que $\frac{2}{3}$ es la mediana de esta distribución .

Supongamos ahora que $x_1 = \frac{1}{2}$ . Manteniendo esto la probabilidad de que el jugador $x$ gana es $$ P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ Pero si él descartara $x_1 = \frac{1}{2}$ tiene probabilidad $$ P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8} $$ de ganar. $\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$ por lo que mantener $x_1 = \frac{1}{2}$ (y sus alrededores) no es óptima, por lo que no puede ser un movimiento de equilibrio.

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ALERTA DE SPOILER

Si el jugador $y$ tiene un límite $c_y$ y el jugador $x$ dibuja $x_1 = c_y$ y lo mantiene la probabilidad de que el jugador $x$ gana es $$ P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2. $$ Si el jugador $x$ dónde descartar $x_1$ la probabilidad de que gane es \begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*} Supongamos que existe un equilibrio simétrico, es decir $c_x = c_y = c$ .
(No creo que existan otros equilibrios, pero no lo he demostrado).
Como la probabilidad de ganar es continua en el valor de $x_1$ el valor de corte $c$ es tal que si $x_1 = c$ entonces la probabilidad de ganar es igual cuando $x_1$ se conserva y cuando se desecha. Esto significa que \begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}

Answer 2

Supongamos que la persona 1 elige un límite de $c_1$ y la persona 2 elige un corte de $c_2$ con $c_2\ge c_1$ . Dejemos que $p_1(x)$ sea la probabilidad de que el número final de la persona 1 no sea mayor que $x$ . $p_1(x)$ es igual a $c_1x$ si $x<c_1$ y $c_1x+x-c_1$ de lo contrario. Definir $p_2(x)$ de manera similar. Ahora, el gráfico $p_2(x)$ contra $p_1(x)$ en un gráfico paramétrico para $0\le x\le1$ . El resultado son tres segmentos de línea:

• Uno de $(0,0)$ a $(c_1^2,c_1c_2)$ correspondiente a $0\le x\le c_1$ ;
• Uno de $(c_1^2,c_1c_2)$ a $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ correspondiente a $c_1\le x\le c_2$ ;
• Uno de $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ a $(1,1)$ correspondiente a $c_2\le x\le1$ .

Estos tres segmentos de línea dividen el cuadrado unitario en dos partes. El área de la parte bajo el gráfico es la probabilidad de que la persona 1 tenga el número más alto. Un poco de geometría muestra que esta área es $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$ . Para que exista un equilibrio estable, ambas derivadas parciales de éste deben ser cero, es decir $$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

La suma de las ecuaciones muestra que $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$ que sólo es posible si $c_1=c_2$ . Sustituyendo de nuevo en una de las ecuaciones, $1-c_1-c_1^2=0$ por lo que el único equilibrio estable está en $c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .