Como sospechamos una solución de esquina, es mejor escribir el problema explícitamente con su restricción. Incluso mejor, utilizar el Fritz John ( FJ ) en lugar de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker ( KKT ). Mencionaremos las diferencias a medida que avancemos.
$$\max_{\alpha} \int u[w+\alpha(z-1)] dF(z),\;\; \text{s.t.}\;\; w-\alpha \geq 0$$
El lagrangeano bajo la formulación de Firtz John es
$$L_{FJ} = \lambda_0\int u[w+\alpha(z-1)] dF(z)\; + \; \lambda_1(w-\alpha)$$
El nuevo elemento es el multiplicador de la función objetivo, $\lambda_0$ . Sin pérdida de generalidad podemos especificar
$$\lambda_0 \in \{0,1\},\;\; \lambda_0 + \lambda_1 \neq 0$$
¿Qué es lo que ganamos aquí, en comparación con el mucho más conocido y utilizado KKT -¿condiciones? Si una solución requiere que $\lambda_0 =1$ obtenemos el KKT condiciones con la calificación de la restricción satisfecha . Si una solución requiere que $\lambda_0 =0$ refleja, entre otros casos especiales, el caso en que la calificación de la restricción no se cumple.
(Un ejemplo estándar es el caso en el que el conjunto factible para $\alpha$ se ha reducido a un solo punto debido a las restricciones impuestas. Entonces encontraremos que la única solución dicta que $\lambda_0=0$ , lo que tiene una explicación intuitiva: si $\alpha$ puede tomar uno y sólo un valor debido a las restricciones, entonces la función objetivo "no juega ningún papel" en la determinación de $\alpha$ por lo que obtiene un multiplicador multiplicador).
Volviendo a nuestro problema. La condición de primer orden es
$$\frac {\partial L_{FJ}}{\partial \alpha} = \lambda_0\int u'[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) - \lambda_1 \leq 0$$
(nótese el "menor o igual a cero" que es el caso cuando se optimiza bajo restricciones de desigualdad, en lugar de sólo "igual").
En primer lugar, establecemos que $\alpha^* >0$ . Debido a $u'>0$ y la convexidad (estricta) de la función de utilidad, $u''>0$ y la suposición de que $E(z) >1$ tenemos (utilizando la desigualdad de Jensen)
$$E[u(w+\alpha(z-1))] > u(w+\alpha(E(z)-1))] > u(w + 0\cdot(E(z)-1))=u(w)$$
Pasamos ahora a examinar los casos. Dado que los dos multiplicadores no pueden ser ambos cero, y $\lambda_0$ toma sólo dos valores, hay tres combinaciones posibles.
Examinar el caso $\lambda_0 =1$ .
Entonces $\lambda_1$ puede ser, en principio, cero o positivo. Examina el caso en el que $\lambda_1 =0$ es decir, la restricción no es vinculante, lo que implica que $\alpha^* < w$ . Con este par de multiplicadores candidatos, $\{\lambda_0=1,\lambda_1=0\}$ la condición de primer orden sería
$$\int u'[w+\alpha(z-1)]\cdot (z-1) dF(z) \leq 0 \Rightarrow E(zu') - E(u') \leq 0$$
Desde $u'>0 \Rightarrow E(u') > 0$ . Además, como $E(z)>1$ tenemos que
$$E(u')< E(u')E(z) \Rightarrow E(zu') < E(u')E(z) \Rightarrow \text{Cov}(z, u')<0$$
Pero esto no se puede sostener, porque, como $\alpha^*>0$ y $u''>0$ tenemos que $u'$ será estrictamente creciente en $z$ . Así que la covarianza de $z$ y $u'$ no puede ser negativo. Pero entonces el par de valores del multiplicador $\{\lambda_0=1,\lambda_1=0\}$ no puede ser una solución, y esto sucede debido a la suposición $u''>0$ .
Nos quedan los casos $\{\lambda_0=1,\lambda_1>0\}$ o $\{\lambda_0=0,\lambda_1>0\}$ . En estos dos casos, $\lambda_1 >0$ es decir, la restricción es vinculante, es decir, tendremos $\alpha^* = w$ . QED.
Referencias
Las condiciones de Fritz John han sido expuestas en " F. JOHN. Problemas extremos con desigualdades como condiciones laterales. En "Estudios y ensayos, volumen del aniversario de Courant" (K. O. Friedrichs, O. E. Neugebauer y J. J. Stoker, eds.), pp. 187-204. Wiley (Interscience), Nueva York, 1948".
y se han generalizado en
" Mangasarian, O. L., y Fromovitz, S. (1967). Las condiciones de optimalidad necesarias de Fritz John en presencia de restricciones de igualdad y desigualdad. . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 17(1), 37-47.
