Modelo neokeynesiano: Log-linealizar el FOC de la empresa

Question

En el libro de Gali (capítulo 3), el FOC de una empresa viene dado por:

$$(\sum_{k=0}^\infty \theta^k E_k(Q_{t,t+k} Y_{t+k|t} (P_t^*/P_{t-1} - \alpha MC_{t,t+k} \beta_{t-1,t+k}))) = 0 $$

Básicamente, la condición de primer orden para maximizar el beneficio de una empresa. $0< \theta <=1$ , $\alpha$ es el margen de beneficio sobre el precio de la competencia. El CM es el coste marginal. Y $beta = P_{t+k}/P_t$ .

En el estado estacionario de inflación cero (el punto en el que se supone que debemos linealizar esto),

$P_t^*/P_{t-1} = 1$ $beta = P_{t+k}/P_t = 1$ $P^*=P_{t+k}$ Por tanto, Y es constante. $Y_{t+k|t} = Y$ y también lo es MC. Q es el factor de descuento estocástico y es igual a $B^k$ en torno a lo estable. Del mismo modo, el coste marginal (CM) es el recíproco del margen de beneficio, es decir $MC = 1/\alpha$

Necesito ampliar esta bonita expresión. El problema que tengo es que si hago una expansión alrededor del estado estacionario, todo parece anularse, dejándome sin nada que se parezca a la solución prevista para el problema.

Answer 1

$$(\sum_{k=0}^\infty \theta^k E_k(Q_{t,t+k} Y_{t+k|t} (P_t^*/P_{t-1} - \alpha MC_{t,t+k} \beta_{t-1,t+k}))) = 0 $$

Linealizar en torno al estado estacionario de inflación cero.

$$p_t^* - p_{t-1} = (1 - \beta\theta) \sum_{k=0}^\infty (\beta\theta)^k E_t(\widehat{mc}_{t+k|t} + p_{t+k} - p_{t-1}) $$

Dónde $$\widehat{mc}_{t+k|t} \equiv {mc}_{t+k|t} - mc$$ En otras palabras, $$p_t^* = \gamma + (1 - \beta\theta) \sum_{k=0}^\infty (\beta\theta)^k E_t(\widehat{mc}_{t+k|t} + p_{t+k}) $$ donde $\gamma \equiv log \frac{\epsilon}{\epsilon + 1} $

Si no recuerdo mal, este modelo utiliza la fijación de precios de Calvo, por lo que la inflación es sólo por la rigidez de los salarios. Así que si se fija $\theta = 0$ (no hay rigidez de precios) $$p_t^* = \gamma + mc_t + p_t$$

Vea con qué puede trabajar a partir de ahí.

Edición: Si te preguntas cómo se hace esto, el recurso de "An Old Man in the Sea" en los comentarios es útil, en las secciones 3.2 y 3.3. Se mostrará cómo hacer la expansión de Taylor de primer orden para derivar el resultado.