¿Qué significan estas "anotaciones estratégicas"?

Question

En un juego secuencial, donde hay 8 pizzas.

El jugador 1 decide el número de pizzas que quiere. Llamémosla S1 (estrategia del jugador 1), y S1 = 5 significa que el jugador 1 ha decidido comprar 5 pizzas.

Entonces el jugador 2 decide el número de pizzas que quiere, y el jugador 2 sabe lo que ha decidido el jugador 1. Llamémosla S2 (estrategia del jugador 2), y S2 = 5 significa que el jugador 2 decidió conseguir 5 pizzas.

Si el S1 + S2 > 8 entonces ambos jugadores reciben 0 pizzas.

De lo contrario, los jugadores obtienen el número de pizzas que decidieron obtener, también el jugador 1 obtiene pizzas S1 y el jugador dos obtiene pizzas S2.

En las "soluciones" a los ejercicios de una tarea sobre estrategias, han escrito lo siguiente:

S1* y S2* son las estrategias de "equilibrio de Nash" del jugador 1 y del jugador 2.

Encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias puras en este juego secuencial.

(1) S1*  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} and
S2*(S1) = 8 - S1   if   S1 = S1*,
S2*(S1) > 8 - s1   if   S1 > S1*,
S2*(S1)  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}   if   S1 < S1*

¿Qué significa que S1 > S1* o S1 < S1*?

Significa que el jugador 1 decide un número de pizza que es mayor que 8?

¿Qué significan las anotaciones anteriores?

Answer 1

El post anterior se acerca bastante (+1), pero no ha mencionado el Equilibrio de Nash subjuego perfecto y la notación $s_2^*=8-s_1^*$ puede ser engañosa, ya que implica que la estrategia de equilibrio de Nash del jugador 2 es una función de $s_1$ lo que significaría que la mejor respuesta para el jugador 1 no podría ser nada menos que 8.

En primer lugar, considera el conjunto de acciones de cada jugador (cada uno tiene el mismo conjunto de acciones): $$a_1 \in \{0,1,2,...,8\}$$ $$a_2 \in \{0,1,2,...,8\}$$

En primer lugar, considere el conjunto de estrategias para cada jugador: $$s_1 \in \{0,1,2,...,8\}$$ $$s_2(s_1) \in \{f: \{0,1,2,...,8\} \rightarrow \{0,1,2,...,8\}\}.$$ Obsérvese que el conjunto de estrategias del jugador 1 es el mismo que su conjunto de acciones, ya que el jugador 1 no puede condicionar su acción a la acción del jugador 2 antes de moverse. Por otro lado, el conjunto de estrategias de la jugadora 2 es el conjunto de todas las funciones que mapean el conjunto de acciones de la jugadora 1 en el conjunto de acciones de la jugadora 2.

Si consideramos la definición de un Equilibrio de Nash, y consideramos cuidadosamente los conjuntos de estrategias para cada jugador, podemos ver que hay al menos 10 Equilibrios de Nash de Estrategia Pura: $$(s_1^*,s_2^*) \in \{(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,1),(7,1),(8,0),(8,8-s_1)\}.$$ En los primeros 9 equilibrios enumerados (es decir, los que el primer cartel estaba describiendo), la estrategia de equilibrio de la empresa 2 es simplemente un número, no una función que depende de la estrategia del jugador 1 (por ejemplo $s_2(s_1)=4$ ). Obsérvese que estos serían los equilibrios si se tratara de un juego estático (es decir, que el jugador 2 no observara la elección del jugador 1 antes de elegir una acción).

El último equilibrio enumerado $(8,8-s_1)$ es el Equilibrio de Nash subjuego perfecto. Para ver por qué, debemos utilizar la inducción hacia atrás. Partiendo de la jugada del jugador 2, tenemos 9 subjuegos posibles (uno por cada una de las posibles acciones elegidas por el jugador 1). Para el subjuego arbitrario en el que $s_1=C$ la mejor respuesta del jugador 2 es elegir la acción correspondiente a $8-C$ . Podemos generalizar esto a través de los 9 subjuegos y deducir que la estrategia $s_2(s_1)=8-s_1$ forma un Equilibrio de Nash en cada uno de estos 9 subjuegos propios.

Así, hemos determinado que en el Equilibrio de Nash subjuego perfecto, el jugador 2 debe elegir la estrategia $s_2(s_1)=8-s_1$ . Ahora debemos encontrar la mejor respuesta del jugador 1, que puede verse fácilmente como $s_1=8$ . Por lo tanto, el 10º Equilibrio de Nash enumerado anteriormente es el Equilibrio de Nash subjuego perfecto.

Puede que te sientas inclinado a argumentar que $(8,0)$ y $(8,8-s_1)$ son resultados equivalentes, pero no lo son. El primero no puede ser un Equilibrio de Nash subjuego perfecto ya que la estrategia del jugador 2 $s_2(s_1)=0$ no forma un equilibrio de Nash en todos los subjuegos adecuados (por ejemplo, en el subjuego en el que el jugador 1 ha elegido $s_1=7$ el jugador 2 todavía habría elegido $s_2(7)=0$ .

Answer 2

Nótese que el equilibrio de Nash significa que nadie puede beneficiarse de una desviación unilateral. En este caso, si $s_1 = s_{1}^*$ (es decir, el equilibrio de Nash), entonces debe ser que $s_1+s_2=8$ ya que, de lo contrario, el jugador 1 o 2 puede desviarse y beneficiarse (por ejemplo, si $s_1+s_2<8$ p1 puede pedir más para dejar $s_{1}^{\prime}+s_2=8$ y beneficio).

Así que, volviendo a tu pregunta, cualquier par que haga $s_{1}+s_{2}=8$ es un equilibrio de Nash, por lo que hay 9 NEs, con $s_{1}^{*}\in\{0,\cdots,8\}$ y dada una $s_{1}^{*}$ , $s_{2}^{*}=8-s_{1}^{*}$ . Supongo que la notación $s1>s^{*}$ es confuso, debería significar que dado un $s_{1}^{*}$ si p1 se desvía a $s_{1}<s_{1}^{*}$ , entonces la mejor respuesta de p2 es aumentar su número de $s_{2}^*$ a $s_2$ y hacer $s_2+s_1=8$ de nuevo.