Paradoja en el vencimiento de las opciones cuando la volatilidad llega al infinito

Question

A medida que la volatilidad llega al infinito, la delta de una opción de compra llega a 1. La delta se aproxima a la probabilidad de que la opción expire dentro del dinero. Por lo tanto, parece que la probabilidad de expirar en el dinero es muy cercana a 1.

Sin embargo, el precio de la opción de venta se aproxima a la función constante en el precio de ejercicio. Esto es lo que se vería si la probabilidad de que la opción de compra expire fuera del dinero es cercana a 1.

Esto parece sugerir que la probabilidad de que la opción de compra expire dentro del dinero y fuera del dinero se acerca a 1.

Dicho de otro modo, a medida que aumenta la volatilidad, también aumenta la probabilidad de que una opción de compra expire dentro del dinero. Pero también lo hace el precio de una opción de venta. Por tanto, parece que el precio de una opción de venta aumenta, aunque la probabilidad de que la opción de venta venza en el dinero disminuye.

¿Cómo se puede entender esto?

Answer 1

En lo que tiene razón, debido a la paridad llamada-posada $$C-P=DF(F-K)$$ con $F$ que representa el precio a plazo, la diferencia entre el precio de la opción de compra europea y el de la opción de venta europea es independiente de la volatilidad.

Esto sugiere que cuando $C$ aumenta debido a la creciente volatilidad, $P$ por lo tanto, debería aumentar en la misma cantidad en igualdad de condiciones. Y, efectivamente, el precio máximo de venta es $DF\times K$ en el que la llamada vale $DF\times F$ .

En lo que te equivocas es en que, bajo la medida de riesgo neutral: $\Delta$ (o más bien $N(d_1)$ en la ecuación de la BS) no es la probabilidad de expirar en el dinero para una llamada, $N(d_2)$ es.

Vea también estas preguntas: Probabilidad de ejercicio en el modelo Black-Scholes y Otra pregunta sobre la medida de neutralidad del riesgo. ¿Por qué la probabilidad neutral al riesgo de un GBM infinitamente volátil es 0?