¿Representar estas preferencias lexicográficas mediante una función de utilidad no continua?

Question

Tengo las siguientes preferencias y me pregunto si podría representarlas mediante una función de utilidad:

$R_1 \succ R_2$ <-> $R_1\leq Q$ y $R_2 > Q$ ,

$R_1 \succ R_2$ <-> $R_1 \leq Q$ y $R_2 \leq Q$ y $R_1>R_2$ ,

$R_1 \sim R_2$ <-> $R_1 > Q$ y $R_2 > Q$

R es positivo y de valor real, Q es una especie de "umbral" de R para el primer criterio (por debajo de Q todo se prefiere a por encima de Q). Son preferencias lexicográficas, ¿no?

¿No puedo representar estas preferencias mediante la función de utilidad?

$U(R)=a+bR$ para $R\leq Q$ y positivo a,b

$U(R)=0$ ¿o no?

Porque ahora

$U(R_1)>U(R_2)$ <-> $R_1 \succ R_2$

$U(R_1)=U(R_2)$ <-> $R_1 \sim R_2$

Entonces, ¿es finalmente posible representar las preferencias lexicográficas mediante una función de utilidad no continua?

¡Muchas gracias por la ayuda!

Felix

Answer 1

Como ha señalado @HRSE, su terminología es un poco engañosa, y estas preferencias no son exactamente a lo que nos referimos cuando utilizamos la palabra "lexicográfico". Podrías tener la tentación de considerar cada $R>0$ como un vector bidimensional $R=(\mathbb{1}_{R \leq Q},R)$ y aplicar el orden lexicográfico sobre estos vectores, pero diría que es un poco antinatural ya que las dos dimensiones del vector no son independientes (no se puede variar la segunda libremente sin afectar a la primera).

Dicho esto, la observación habitual de que las preferencias lexicográficas pueden ser representadas por una función de utilidad (pero no por una función de utilidad continua) se aplica también a su caso. La característica común de ambas situaciones es que las preferencias satisfacen los requisitos de racionalidad estándar (orden débil) pero son discontinuas. Puede consultar esta pregunta para una discusión formal de estas cuestiones:

La relación de preferencia lexicográfica no puede representarse mediante una función de utilidad