Estoy analizando la transición de los precios de los bonos en los modelos afines en la forma de $P(t,T)=e^{-A(t,T)-B(t,T)r_t}$
utilizando la propiedad de que la difusión y la deriva de un modelo afín pueden presentarse como $$b(t,r)=b(t)+\beta(t)r_t \quad \quad (1) $$ $$\sigma^2(t,r)=a(t)+\alpha(t)r_t \quad \quad (2) $$
donde A y B satisfacen el sistema de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias $$\partial_t A(t,T) = \frac{1}{2} \ a(t) \ B^2(t,T) - b(t) \ B(t,T), \quad A(T,T)=0 \quad \quad (3)$$ $$\partial_t B(t,T) = \frac{1}{2} \ \alpha(t) \ B^2(t,T) - \beta(t) \ B(t,T) -1 , \quad B(T,T)=0 \quad \quad (4)$$
Estoy tratando de derivar el precio del bono P(t,T) para el Modelo Ho-Lee. $dr_t=\mu t dt + \sigma dW_t^*$
Tengo entendido que $b=\mu t, \ \beta=0, \ a=\sigma^2, \alpha=0$ serán los parámetros para las ecuaciones (3) y (4), lo que da
$$\partial A(t,T) = \frac{\sigma^2}{2} B^2(t,T) - \mu t \ B(t,T) \quad \quad (5)$$ $$\partial B(t,T) = -1 \quad \quad (6)$$ y además debe producir $$B(t,T)=T-t \quad \quad (7)$$
El último paso no lo tengo claro.
Mis preguntas
1) por qué se sustituye T-t, y no t o T
2) por qué la integración $\partial B=-1$ da como resultado (T-t) y no -(T-t)? integrar una función f'(x)=-1 debería dar f(x)=-x, ¿no es así?
$$A(t,T)=\frac{-\sigma^2}{6}(T-t)^3 + \int_t^T b(s)(T-s)ds \quad \quad (8)$$ dando la ecuación final $$P(t,T)=exp \ \big{(}\frac{-\sigma}{6}(T-t)^3 -\frac{\mu}{6} T^3 + \frac{1}{2} \mu T t^2 -\frac{1}{3} \mu t^3 - (T-t)r_t \big{)} \quad \quad (9)$$
Pregunta 3)
Cómo la integralidad $\int_t^T b(s)(T-s)ds$ da $\frac{\mu}{6} T^3 - \frac{1}{2} \mu T t^2 + \frac{1}{3} \mu t^3$ . No puedo entender el álgebra aquí. ¿Es una integral ordinaria?
