Juego de Señales, Múltiples Señales

Question

Estoy resolviendo un juego de tres etapas en una cadena de suministro con un comprador y un proveedor. El proveedor tiene información privada sobre su capacidad de producción. El proveedor también tiene la opción de vender al mercado directamente. Por el momento, las secuencias del juego son las siguientes. En la primera etapa, el proveedor decide el precio de venta al por mayor, luego el comprador toma el precio de venta al por mayor como señal, actualiza su creencia sobre la capacidad de producción del proveedor y pide parte de esa capacidad. En la última etapa, el comprador decide cuánto quiere vender al mercado directamente, y el proveedor decide cuánto vender al mercado si queda alguna capacidad. Por ahora, la única señal es el precio mayorista. Quiero añadir una segunda señal a la primera etapa. Es decir, el proveedor no sólo fija el precio mayorista, sino que también pone un límite a la cantidad del pedido del comprador. En la siguiente etapa, el comprador resuelve su utilidad esperada considerando dos señales.

¿Alguien ha oído hablar de una historia similar con 2 señales en una etapa? Gracias

Answer 1

Desde la perspectiva del comprador, está recibiendo una señal bidimensional. Tras observar la combinación del precio mayorista y el pedido limitado, el comprador puede actualizar sus creencias sobre la capacidad del proveedor mediante la regla de Bayes. Permítanme mostrarlo:

Dejemos que $c\in [0,1]$ sea la capacidad del proveedor (sólo para simplificar la notación he supuesto que está en el intervalo de 0 a 1) y suponga $c$ se distribuye según $\mu_0(c)$ Por lo tanto $\mu_0$ es la creencia previa del comprador de que la capacidad es $c$ . Entonces, cada tipo de proveedor elegirá de forma óptima una señal $(p_w(c), \bar o(c))$ del precio mayorista y el límite del pedido del comprador. Son funciones de la capacidad de producción $c$ (o más generalmente, la información privada del proveedor) en $\mathbb{R}^2$ (si algunos tipos de proveedores utilizan estrategias mixtas, entonces $(p_w(c), \bar o(c))$ son funciones que devuelven distribuciones admitidas en $\mathbb{R}^2$ .

Después de recibir una señal digamos $(p_w, \bar o)$ la creencia posterior del comprador, denotada $\mu_1(c)$ está dada por:

$$\mu_1(c|(p_w, \bar o))=\frac{Prob((p_w(c), \bar o(c))=(p_w, \bar o))\mu_0(c)}{\int_{[0,1]} Prob((p_w(t), \bar o(t))=(p_w, \bar o))\mu_0(t)dt}$$

Es decir, la relación entre la probabilidad de recibir la señal $(p_w, \bar o)$ de un proveedor con capacidad $c$ sobre la probabilidad total de recibir la misma señal; de cualquier tipo de proveedor. Obsérvese que si el proveedor con capacidad $c$ está utilizando una estrategia pura, entonces $Prob((p_w(c), \bar o(c))=(p_w, \bar o)$ es $0$ o $1$ .

Dada la señal bidimensional, sospecharía que se producirá uno de los 3 escenarios siguientes:

1. El comprador aprende la capacidad de la señal (por ejemplo, si la función $f(c)=(p_w(c), \bar o(c))$ es inyectiva de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^2$ . (nótese que esto puede ocurrir incluso si una o ambas funciones $p_w(c), \bar o(c)$ no son inyectivas).

2. La función $\bar o(c)$ es constante, por lo que se vuelve al caso de una señal 1-D ya que el comprador no aprende nada de $\bar o(c)$ .

3. Los proveedores eligen estrategias mixtas. En ese caso, encontrar $(p_w(c), \bar o(c))$ será un reto porque el conjunto de distribuciones admitidas en $\mathbb{R}^2$ es bastante grande.

Buena suerte.