¿Y si existe una persona i que no es la tomadora de decisiones, pero simplemente tiene suerte y resulta que la función de bienestar social 'óptima' da como resultado la decisión que i prefiere?
No estoy seguro de dónde ves la posibilidad de esto en matemáticas. El votante se convierte en dictador precisamente porque en el establecimiento de votación por clasificación hay un resultado muy análogo al teorema del votante mediano que muestra que la elección seleccionada por el sistema de votación por clasificación dependerá críticamente de esa persona, el dictador (por ejemplo, si el 'dictador' prefiere A, A será seleccionada, cuando 'dictador' prefiere C y cambia el voto, esa será la selección para toda la sociedad). De manera similar, en el modelo del sistema de voto único transferible, asumiendo la racionalidad, solo el voto del votante mediano importa, todos los demás votos son irrelevantes para el resultado. Esto es lo que convierte al agente en dictador. Esto es lo que obtienes del trabajo seminal de Arrow de 1950.
No estoy seguro de cómo alguien puede tener suerte en el modelo. Es un modelo determinista, la única suerte que hay es nacer con preferencias dadas. Además, no hay una función de bienestar social 'óptima'. La idea de una función de bienestar social óptima implica que de alguna manera puedes decir objetivamente que la función de bienestar social utilitarista es más óptima que la rawlsiana.
Con respecto a tu ejemplo práctico. Las preferencias de esos votantes podrían estar alrededor de las preferencias medianas. Pero eso no significa que esos votantes no impongan sus preferencias al resto de la sociedad si votan de acuerdo con sus preferencias y si su voto es el decisivo. Si hay un comité de 13 jueces que necesitan decidir si toda la sociedad será rawlsiana o utilitarista, 6 están más alineados con lo utilitarista y 6 más con lo rawlsiano, y finalmente en el medio hay un juez que está indeciso pero se inclina hacia las preferencias utilitaristas, entonces es ese último juez el que decide qué preferencias se impondrán a toda la sociedad.
Simplemente porque un resultado se logra a través de medios democráticos no significa que no se imponga, o incluso no se imponga por la amenaza de la fuerza. Por ejemplo, en las naciones democráticas, los niveles impositivos son decididos por políticos elegidos democráticamente. Sin embargo, eso no hace que los impuestos sean voluntarios en comparación con los países no democráticos. Aún están siendo impuestos, bajo amenaza de violencia física.
Con respecto al punto de Arrow, creo que la interpretación directa es que Arrow simplemente señala que obviamente hay una diferencia cualitativa entre el dictador que gobierna por la fuerza militar y el dictador que impone su voluntad basándose en algún mecanismo al cual muchos miembros de la sociedad consintieron. Sin embargo, usando las definiciones, si el resultado depende de una sola persona, entonces esa persona sigue siendo un dictador sin importar qué otras diferencias cualitativas pueda haber.
Decidir mediante elecciones no es lo mismo que el voluntarismo. De hecho, en la mayoría de los modelos cuando permites que los agentes decidan sobre disposiciones voluntarias de bienes públicos u otras acciones gubernamentales, típicamente obtendrás resultados completamente diferentes si permites que los mismos agentes voten y tomen medidas colectivas que luego deben ser impuestas de nuevo a todos (ve ejemplos en Mueller Public Choice III).
Por lo tanto, esas personas en ese ejemplo están imponiendo sus preferencias, tal como se entienden tradicionalmente en la literatura de economía pública, elección pública y economía política.
Supongamos que existe un individuo cuya preferencia está definida como 'Quiero lo que la sociedad en su conjunto quiere'. Tal vez esté muy informado sobre las preferencias de los votantes y sea altruista.
Este es un punto discutible. Todo el punto del documento de Arrow es mostrar que simplemente no puedes descubrir lo que la sociedad en su conjunto quiere a través de la votación por clasificación. Puede haber formas de descubrir las preferencias de la sociedad, pero los sistemas de votación por clasificación no son capaces de hacerlo. Este es todo el punto de las condiciones. O el sistema de votación por clasificación te da resultados cíclicos, o te dice solo sobre las preferencias de un individuo y no sobre las de todos los votantes y sin ignorar completamente las preferencias de los votantes al mismo tiempo.
Además, nuevamente considera el ejemplo del votante mediano que es el desempate entre la opción A y B. Una vez más, supongamos que hay 6 votantes votando por A y 6 por B. ¿Qué debería elegir este votante altruista e informado que solo quiere seguir las preferencias de la sociedad? El votante sabe que 6 personas quieren A y 6 personas quieren B. ¿Cómo decide desinteresadamente el votante? Ese votante está en posición de convertirse en el asno de Buridán.
Estamos tratando aquí con opciones discretas. Este votante 'desinteresado' impondrá A a todos los votantes o B a todos los votantes. O si terminas en empate, obtienes un votante mediano equivalente al ciclo de Condorcet (por eso Arrow simplemente asume esta opción, ya que en ese caso puedes satisfacer otras propiedades pero no se puede mostrar que ninguna elección sea estrictamente preferida y elegida).
¿Por qué es malo si una función de bienestar social 'justa' u 'óptima' da como resultado decisiones que coincidentemente siempre se alinean con las preferencias de un individuo en particular?
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No sé dónde leíste que esto se considera malo. Admitiré que ya ha pasado algo de tiempo desde que leí a Arrow, pero no puedo recordar ninguna instancia en la que afirmara que esto es malo.
Busqué el artículo original de Arrow de 1950 y no pude encontrar ninguna instancia de que Arrow afirmara que este resultado era de alguna manera malo o incluso indeseable. Es solo una propiedad del sistema de votación por clasificación.
De hecho, ni siquiera es una propiedad de todos los sistemas de votación, solo se aplica a los sistemas de votación ordinal. Por ejemplo, un sistema de votación calificado no tiene este resultado particular.
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No creo que haya un consenso sobre cuál sería una función de bienestar social 'justa' u 'óptima'. Si existiera un consenso, entonces la idea misma de democracia no tendría sentido de todos modos. Si hay una función de bienestar social justa u óptima, entonces de hecho, siempre que algún sistema de votación, como el voto por clasificación, brinde este resultado, no importa si el sistema es de facto una dictadura porque el resultado es simplemente debido a un solo individuo.
El punto del teorema de imposibilidad de Arrow es mostrar que si deseas utilizar la democracia como un agregador democrático de preferencias sociales, el sistema de votación por clasificación no es un sistema que pueda hacer eso por ti.
