En la obra de Tomas Björk Teoría del arbitraje en tiempo continuo (o aquí ), $\exists$ esta propuesta
Parece que para demostrar que el modelo es completo, hay que demostrar que las demandas son alcanzables. Es decir, debemos encontrar carteras replicantes.
¿Qué parte de la búsqueda de la cartera de réplica hace uso de la suposición?
Un mercado es sin arbitraje si existe una medida neutral al riesgo Q (bajo la cual el precio descontado de las acciones se convierte en martingala).
Un mercado es completa cuando la medida neutral de riesgo Q es única.
Por lo tanto, cualquier mercado con una medida neutral al riesgo Q está libre de arbitraje, y si Q es único también es completo.
Las probabilidades neutrales al riesgo $q$ son únicas para el modelo binomial, por lo que es libre de arbitraje y completo.
Para cualquier modelo multinomial con $m>2$ stockmoves, Q tiene infinitas soluciones por lo que el mercado es incompleto, pero sigue siendo libre de arbitraje porque las Q existen.
Se puede mostrar cómo la existencia y la unicidad de la medida neutral al riesgo Q para una Llamada en el Modelo Binomial implica la existencia de una cartera replicante como sigue:
En el momento $t=0$ el precio del activo es $S_0$ y el precio de la opción de compra es $C_0$ Por determinar. En el momento $t=1$ hay dos posibles precios de los activos $S_{1u} = S_0(1+u)$ con probabilidad $p$ y $S_{1d} = S_0(1+d)$ con probabilidad $1-p$ . El pago de la opción al vencimiento es
$$C_1 = \max(S_1-K,0), $$
donde la variable aleatoria $S_1$ es $S_{1u}$ o $S_{1d}$ dependiendo de la situación futura del mercado:
$$C_{1u} = \max(S_{1u}-K,0)\\\ C_{1d} = \max(S_{1d}-K,0)$$
El valor de la opción en el momento $t=0$ es el valor esperado descontado de la retribución. Sin embargo, este valor esperado no se calcula con una probabilidad real $p$ -- sino la probabilidad neutral de riesgo $\hat{p}$ que impiden las oportunidades de arbitraje.
Podemos determinar la probabilidad neutral de riesgo sin arbitraje $\hat{p}$ mostrando que es posible construir una cartera cubierta de la opción y el activo que esté libre de riesgo - tiene el mismo valor en ambos estados futuros. Por tanto, el valor de la cartera crece en el tiempo al tipo de interés sin riesgo $i$ .
Supongamos que la cartera es larga $1$ opción de compra y corta $\Delta$ acciones del activo. El valor en el momento $t=1$ es
$$V_t= C_t-\Delta S_t.$$ Podemos resolver el ratio de cobertura $\Delta$ para que el valor de la cartera en el momento $t=1$ es independiente del estado del mercado:
$$C_{1u}-\Delta S_{1u}=C_{1d}-\Delta S_{1d},$$
o
$$C_1-\Delta S_1=C_{1u}-\Delta S_0(1+u)=C_{1d}-\Delta S_0(1+d).$$
Este valor del ratio de cobertura es independiente de las probabilidades del valor del activo en el momento $t=1$ :
$$\Delta = \frac{C_{1u}-C_{1d}}{S_0(u-d)}$$
En consecuencia, en ausencia de arbitraje, la cartera crece al tipo sin riesgo:
$$C_1-\Delta S_1 = (C_0 - \Delta S_0)(1+i)$$
y podemos resolver el valor de la opción de compra en el momento $t=0:$
$$C_0 -\Delta S_0= \frac{C_{1u}-\Delta S_0 (1+u)}{1+i},$$
$$C_0 = \frac{\Delta S_0 (1+i) +C_{1u}-\Delta S_0 (1+u)}{1+i},$$
$$C_0 = \frac{-\Delta S_0 (u-i) + C_{1u}}{1+i}.$$
Sustituyendo por $\Delta$ obtenemos
$$C_0 = \frac{\hat{p}C_{1u}+(1-\hat{p})C_{1d}}{1+i}=\frac{1}{1+i}\{\hat{p}\max[S_0(1+u)-K,0)]+(1-\hat{p})\max[S_0(1+d)-K,0)]\},$$
donde
$$\hat{p} = \frac{i-d}{u-d}.$$
Esto tiene la forma de un valor esperado con una probabilidad diferente: la probabilidad neutral al riesgo. El valor razonable de la opción de compra es el valor esperado descontado bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo.
No lo entiendo 1 - libre de arbitraje equivale a $d < 1+R < u$ ¿verdad? 2 - ¿dónde está exactamente $d < 1+R < u$ utilizado en la prueba (ya sea su prueba o la del libro) (además, por supuesto, del más débil $d < u$ ) ? es en ese $0 < \hat{p} < 1$ ? Creo que lo entiendo si $i=1+R$ . ¿lo es? parece que $0 < \hat{p} < 1$ se basa en $d < 1+R < u$ ...tal vez sea incluso equivalente...
@BCLC En esta formulación el salto es "1+u", por lo que p sólo existe (0<p<1) para u>d y r>d. De 1-p>0 se deduce que (u-r)/(u-d)>0 para r<u. La pregunta es en cierto modo engañosa, ya que no se trata de una suposición, sino de una consecuencia de la condición para que p exista.
Se puede considerar que la declaración de ausencia de arbitraje se refiere a la negociación con liquidez infinita.
Si uno tiene que comerciar $x$ pagando la mitad de lo que se paga $\nu$ y tienes un pago trivial $\Phi(\cdot) \equiv 1+R$ entonces no hay solución. Estarías tratando de resolver $$ (1+R)x - \nu + suy = (1+R)x = (1+R)x - \nu + sdy $$
A menudo se piensa en el coste de entrar en una posición como la cantidad $q$ veces la diferencia $\nu$ entre la oferta (bid) y el punto medio. Si el diferencial es $h$ entonces $\nu=h/2$ así que lo llamo una media extensión.
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