$E[F_T] = F_0 \ \rightarrow \ \text{or} \ \leftarrow \ p = \frac{1-d}{u-d}$ ?

Question

Del capítulo 12 de OFOD de Hull calculamos las probabilidades neutrales al riesgo para un contrato de futuros:

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Más adelante, en el capítulo 17, se valoran las opciones de futuros y se obtiene el mismo resultado:

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En relación con los capítulos 16 y 17, mi profesor de fijación de precios de los derivados nos dio este ejercicio:

Demostrar que, en el mundo de riesgo neutro, $E[F_T] = F_0$

Supongo que sí, $F_T$ es la variable aleatoria s.t.

$$F_T = 1_{A}F_0u + 1_{A^C}F_0d$$

donde $A$ es el evento correspondiente al caso 1.

La solución:

$$E[F_T] = pF_0u + (1-p)F_0d$$

$$= \frac{1-d}{u-d}F_0u + \frac{u-1}{u-d}F_0d = F_0$$

Eso parece extraño. A mí me parece que la razón por la que sabemos que $p = \frac{1-d}{u-d}$ es porque $E[F_T] = F_0$ basado en "Si $F_0$ es el precio inicial de los futuros, el precio esperado de los futuros al final de un paso de tiempo de longitud $\Delta t$ también debe ser $F_0$ ' del capítulo 12.

Recuerdo que mi profesor dijo que la razón por la que tenemos 'Si $F_0$ es el precio inicial de los futuros, el precio esperado de los futuros al final de un paso de tiempo de longitud $\Delta t$ también debe ser $F_0$ ' es por dicho ejercicio que viene de $p = \frac{1-d}{u-d}$ .

Entonces, ¿cómo conseguimos $p = \frac{1-d}{u-d}$ sin $E[F_T] = F_0$ ?

En ambos textos de los capítulos 12 y 17, parece que $E[F_T] = F_0$ es una suposición. ¿Me equivoco? ¿Es $E[F_T] = F_0$ ¿no es una suposición en el capítulo 17? Así que $E[F_T] = F_0$ ¿viene del capítulo 17? Eso parece muy inconsistente por parte de Hull:

Propuesta del capítulo 12: $E[F_T] = F_0 \to p = \frac{1-d}{u-d}$

Propuesta del capítulo 17: $p = \frac{1-d}{u-d} \to E[F_T] = F_0$

?

Answer 1

Como he comentado, creo que es simplemente una forma de demostrar que ambas afirmaciones son equivalentes, es decir, cuando la implicación va en ambas direcciones. No hay tal cosa como una definición, es todo acerca de la suposición que usted hace.

En realidad, un punto más general podría ser el siguiente: $u$ y $d$ se definen de tal manera que después de un período el activo obtiene $u$ con probabilidad $\hat{p}$ y $d$ con probabilidad $(1-\hat{p})$ . Entonces se cumple la siguiente proposición :

$$\begin{equation} \forall \hat{p}\hspace{0.5cm}\exists p\in\mathbf{R}\hspace{0.2cm};\hspace{0.2cm}puF_0 + (1-p)dF_0 = F_0 \end{equation}$$

Esto se llama cambio de medida en términos matemáticos. Entonces, la medida neutral de riesgo se obtiene estableciendo $\hat{p}=\frac{1}{2}$ .

Hay que verlo como una herramienta y no como algo "verdadero", porque en realidad se trata de un cambio de medida como cualquier otro, no hay probabilidad neutra de riesgo en el mundo "real", es artificial.

Answer 2

Hagamos primero su problema más riguroso. Supongamos, $F_t$ es el precio futuro del valor subyacente $S_t$ con fecha de vencimiento $T$ . Ahora tienes que demostrarlo, $$\mathbb{E}(F_\tau)=F_t, \quad \forall \tau \in [t, T]$$

Utilizando el principio de no arbitraje (creando una cartera replicante), se puede demostrar fácilmente que: $$F_t = S_t e^{r(T-t)}=\mathbb{E}_\mathbb{Q}[S_T|S_t]$$ donde, $\mathbb{Q}$ representan una medida neutral de riesgo. Podemos escribir, precio futuro en el momento $\tau \in [t,T]$ como, $$F_\tau=S_\tau e^{r(T-\tau)}$$

El precio futuro anterior $F_\tau$ representa el precio futuro real en el momento $\tau$ . Queremos la expresión para $\mathbb{E}(F_\tau|\mathscr{F}_t)$ . Sólo hay que tomar la expectativa de ambos lados en la última ecuación suponiendo que todavía estamos en el tiempo $t$ Así que ambos $F_\tau$ y $S_\tau$ es una variable aleatoria. Tenemos; $$\begin{align} \mathbb{E}(F_\tau)&=e^{r(T-\tau)}\mathbb{E}_\mathbb{Q}(S_\tau)\\ &=e^{r(T-\tau)}S_te^{r(\tau -t)}\\ &=S_te^{r(T-t)}\\ &=F_t \end{align}$$

NB: $\mathbb{E}(F_\tau)$ está condicionada por la filtración hasta el tiempo $t$ . Debe escribirse como $\mathbb{E}(F_\tau|\mathscr{F}_t)$ En lugar de de $\mathbb{E}(F_\tau)$ .